Задача 109 — Демидович

Любое натуральное число $n$ при делении на $4$ дает один из четырех остатков: $0, 1, 2$ или $3$ , то есть его можно представить в одном из следующих видов:

$4 k, 4 k - 1, 4 k - 2, 4 k - 3$

Рассмотрим значение синуса выше при каждом из этих видов:

$sin \frac{4 kπ}{2} = sin 2 πk = 0$

$sin \frac{( 4 k - 1 ) π}{2} = sin (2 πk - \frac{π}{2}) = sin - \frac{π}{2} = - 1$

$sin \frac{( 4 k - 2 ) π}{2} = sin (2 πk - π) = sin - π = 0$

$sin \frac{( 4 k - 3 ) π}{2} = sin (2 πk - \frac{3 π}{2}) = sin - \frac{3 π}{2} = 1$

Получим формулы для четырех подпоследователностей:

$x_{4 n} = 1 + 4 n \cdot 0 = 1$

$x_{4 n - 1} = 1 + (4 n - 1) (- 1) = 2 - 4 n$

$x_{4 n - 2} = 1 + (4 n - 2) \cdot 0 = 1$

$x_{4 n - 3} = 1 + (4 n - 3) \cdot 1 = 4 n - 2$

Покажем, что последовательность $x_{n}$ неограничена сверху.

Пусть это не так и существует некоторая верхняя граница $M$ . Если $M \leq 0$ , то достаточно взять

$x_{4 \cdot 1 - 3} = x_{1} = 4 \cdot 1 - 2 = 2$

Получается, что $x_{1} > M$ , а значит $M$ не может быть отрицательным числом или $0$ . Пусть $M > 0$ , тогда рассмотрим

$x_{4 (⌈ M ⌉ + 1) - 3} = x_{4 ⌈ M ⌉ + 1} = 4 (⌈ M ⌉ + 1) - 2 = 4 ⌈ M ⌉ + 2$

$x_{4 ⌈ M ⌉ + 1} = 4 ⌈ M ⌉ + 2 > ⌈ M ⌉ \geq M$

$x_{4 ⌈ M ⌉ + 1} > M$

Итак, при любом положительном $M$ найдется такой элемент последовательности $x_{n}$ , который будет строго больше $M$ . Получается, что верхней границы у последовательности нет, а значит она неограничена сверху, то есть

$sup x_{n} = + \infty$

Аналогично доказывается, что

$in f x_{n} = - \infty$

Покажем, что

$n \to \infty lim x_{4 n - 3} = + \infty$

По определению (см. задачу 45) это означает, что

$\forall E > 0 \exists N = N (E) \forall n > N : x_{4 n - 3} > E$

Рассмотрим последнее неравенство

$x_{4 n - 3} > E$

$4 n - 2 > E$

$n > \frac{E + 2}{4}$

Итак, нам достаточно взять взять $N$ по следующей формуле:

$N (E) = ⌈ \frac{E + 2}{4} ⌉$

Тогда любое натуральное $n > N$ :

$n \geq N (E) + 1 > N (E) = ⌈ \frac{E + 2}{4} ⌉ \geq \frac{E + 2}{4}$

$n > \frac{E + 2}{4}$

Итак, мы показали, что для любого положительного $E$ можно выбрать такое число $N$ , что любое $n$ после него будет удовлетворять неравенству

$x_{4 n - 3} > E$

Доказали, что

$n \to \infty lim x_{4 n - 3} = + \infty$

А значит

$\overline{n \to \infty lim} x_{n} = + \infty$

Аналогично можно показать, что

$n \to \infty lim x_{4 n - 1} = - \infty$

А значит

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = - \infty$

Зависимости

Задача 45

106 110