Демидович
109

Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Выясним, какие значения может принимать

Любое натуральное число при делении на дает один из четырех остатков: или , то есть его можно представить в одном из следующих видов:

Рассмотрим значение синуса выше при каждом из этих видов:


Получим формулы для четырех подпоследователностей:


Покажем, что последовательность неограничена сверху.

Пусть это не так и существует некоторая верхняя граница . Если , то достаточно взять

Получается, что , а значит не может быть отрицательным числом или . Пусть , тогда рассмотрим

Итак, при любом положительном найдется такой элемент последовательности , который будет строго больше . Получается, что верхней границы у последовательности нет, а значит она неограничена сверху, то есть

Аналогично доказывается, что


Покажем, что

По определению (см. задачу 45) это означает, что

Рассмотрим последнее неравенство

Итак, нам достаточно взять взять по следующей формуле:

Тогда любое натуральное :

Итак, мы показали, что для любого положительного можно выбрать такое число , что любое после него будет удовлетворять неравенству

Доказали, что

А значит

Аналогично можно показать, что

А значит

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!