Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 136
Нормальная

Доказать, что если последовательность ограничена и

то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

т.е. любое число из отрезка является частичным пределом данной последовательности.

Решение

Сразу обозначим за и такие подпоследовательности, что

Бесконечность при делении отрезка

Возьмем произвольное число из интервала .

Докажем, что бесконечно много элементов последовательности лежит и ниже, и выше числа .

Доказывать будем от противного. Пусть это не так и, например, ниже лежит конечное число элементов (или не лежит вообще нисколько).

Из условия нам известно, что существует подпоследовательность , которая стремится к , то есть

Возьмем тогда положительное . Значит для существует такое , что все члены удовлетворяют неравенству

Раскроем это неравенство по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

Нас интересует первое неравенство справа:

Прибавляем к обеим частям :

Итак, после все элементы (а их бесконечно много) лежат ниже (). Каждый элемент является каким-то элементом . Значит ниже лежит бесконечно много элементов .

Аналогично показывается, что выше также лежит бесконечно много элементов . Просто в этом случае будем пользоваться подпоследовательностью, которая по условию стремится к .

Итак, мы показали, что какое бы число между и мы не взяли, ниже и выше него всегда бесконечно много элементов .

Построение подпоследовательностей

Выберем какое-то число между и .

Возьмем какой-то элемент , который выше . Рассмотрим теперь следующий за ним элемент . Для него есть два варианта:

Пусть . Тогда рассматриваем следующий за ним элемент и смотрим, больше или не больше он .

Рано или позно мы придем к двум таким последовательным элементам с номерами и , что

Пусть это не так, то есть любой элемент после номера будет строго больше . Но этого не может быть, так как выше мы показали, что ниже есть бесконечно много элементов , а значит и после номера есть еще бесконечно много элементов , которые меньше .

Значит все же у нас есть два таких последовательных элемента, что

Тогда введем обозначения и . Итак, имеем два идущих друг за другом элемента

Так как выше лежит бесконечно много элементов , то и после номера найдется какой-то элемент выше . Обозначим этот элемент за . Повторяем рассуждения, как для . В итоге получаем еще пару идущих друг за другом элементов с номерами и :

Бесконечно повтряя подобные рассуждения получаем две подпоследовательности и :

Причем эти две подпоследовательности связаны следующим свойством:

Сходимость к

Так как

то является подпоследовательностью .

Из условия нам известно, что

По прото-задаче П-ссылка получаем, что и

Распишем это по определению:

Рассмотрим неравенство в конце:

Поменяем местами слагаемые внутри модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

Но поэтому можно составить цепное неравенство:

Пояснение к цепному неравенству

Докажем, что

Рассуждая геометрически, у нас есть две точки и , а также точка между ними. Тогда очевидно, что расстояние между крайними точками и всегда больше, чем расстояние между одной крайней и точкой между ними .

Аналитически, возведем обе части неравенства в квадрат по пункту 3 прото-задачи П-ссылка:

Сокращаем обе части на положительное :

Действительно, из условия

Прибавим к обеим частям :

Но , поэтому, заменив на можно построить следующее цепное неравенство:

Итак, мы доказали неравенство

Мы доказали, что

А это по определению означает, что


Итак, мы взяли произвольное число из интервала и построили подпоследовательность , которая сходится к . Значит — частичный предел . То есть любое число из отрезка является частичным пределом .