Демидович
136

Доказать, что если последовательность ограничена и

то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

т.е. любое число из отрезка является частичным пределом данной последовательности.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Сразу обозначим за и такие подпоследовательности, что

Бесконечность при делении отрезка

Возьмем произвольное число из интервала .

Докажем, что бесконечно много элементов последовательности лежит и ниже, и выше числа .

Доказывать будем от противного. Пусть это не так и, например, ниже лежит конечное число элементов (или не лежит вообще нисколько).

Из условия нам известно, что существует подпоследовательность , которая стремится к , то есть

Возьмем тогда положительное . Значит для существует такое , что все члены удовлетворяют неравенству

Раскроем это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:

Нас интересует первое неравенство справа:

Прибавляем к обеим частям :

Итак, после все элементы (а их бесконечно много) лежат ниже (). Каждый элемент является каким-то элементом . Значит ниже лежит бесконечно много элементов .

Аналогично показывается, что выше также лежит бесконечно много элементов . Просто в этом случае будем пользоваться подпоследовательностью, которая по условию стремится к .

Итак, мы показали, что какое бы число между и мы не взяли, ниже и выше него всегда бесконечно много элементов .

Построение подпоследовательностей

Выберем какое-то число между и .

Возьмем какой-то элемент , который выше . Рассмотрим теперь следующий за ним элемент . Для него есть два варианта:

Пусть . Тогда рассматриваем следующий за ним элемент и смотрим, больше или не больше он .

Рано или позно мы придем к двум таким последовательным элементам с номерами и , что

Пусть это не так, то есть любой элемент после номера будет строго больше . Но этого не может быть, так как выше мы показали, что ниже есть бесконечно много элементов , а значит и после номера есть еще бесконечно много элементов , которые меньше .

Значит все же у нас есть два таких последовательных элемента, что

Тогда введем обозначения и . Итак, имеем два идущих друг за другом элемента

Так как выше лежит бесконечно много элементов , то и после номера найдется какой-то элемент выше . Обозначим этот элемент за . Повторяем рассуждения, как для . В итоге получаем еще пару идущих друг за другом элементов с номерами и :

Бесконечно повтряя подобные рассуждения получаем две подпоследовательности и :

Причем эти две подпоследовательности связаны следующим свойством:

Сходимость к

Так как

то является подпоследовательностью .

Из условия нам известно, что

По прото-задаче П.19 получаем, что и

Распишем это по определению:

Рассмотрим неравенство в конце:

Поменяем местами слагаемые внутри модуля (см. прото-задачу П.1):

Но поэтому можно составить цепное неравенство:

Пояснение к цепному неравенству

Докажем, что

Рассуждая геометрически, у нас есть две точки и , а также точка между ними. Тогда очевидно, что расстояние между крайними точками и всегда больше, чем расстояние между одной крайней и точкой между ними .

Аналитически, возведем обе части неравенства в квадрат по пункту 3 прото-задачи П.5:

Сокращаем обе части на положительное :

Действительно, из условия

Прибавим к обеим частям :

Но , поэтому, заменив на можно построить следующее цепное неравенство:

Итак, мы доказали неравенство

Мы доказали, что

А это по определению означает, что


Итак, мы взяли произвольное число из интервала и построили подпоследовательность , которая сходится к . Значит — частичный предел . То есть любое число из отрезка является частичным пределом .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.