Обозначим за $y_n$

$$y_n=\sqrt[n]{x_1{x}_2\dots x_n}$$

Введем в рассмотрение следующую последовательность:

$$\ln y_n=\ln (x_1{x}_2\dots x_n{)}^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\ln (x_1{x}_2\dots x_n)$$

$$\ln y_n=\frac{\ln x_1+\ln x_2+\dots +\ln x_n}{n}$$

Из условия известно, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$$

По прото-задаче П-ссылка:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }\ln x_n=\ln A$$

Получаем, что последовательность $\ln x_n$ сходится. Значит, к тому же числу сходится и последовательность ее средних геометрических:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln x_1+\ln x_2+\dots +\ln x_n}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\ln y_n=\ln A$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln y_n=\ln A$$

Последовательность $y_n$ можно представить в виде:

$$y_n=e^{\ln y_n}$$

Найдем ее предел (воспользовавшись прото-задачей П-ссылка):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{\ln y_n}=e^{\underset{n\to \infty }{\lim }\ln y_n}=e^{\ln A}=A$$

Итак, мы показали, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_1{x}_2\dots x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$$