По аналогии с предыдущей задачей 138 введем обозначение для последовательности средних геометрических:

$${\xi }_n=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$$

Итак, нам известно, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty$$

Распишем это по определению:

$$\forall M>0\exists N=N(M)\forall n>N:x_n>M$$

Будем рассматривать какое-то $M^{\prime }>0$. Тогда $3M^{\prime }$ тоже положительное и для него существует такое $N^{\prime }$, что для любого $n>N^{\prime }$:

$$x_n>3M^{\prime }$$

Рассмотрим теперь ${\xi }_n$ для тех же $n$:

$${\xi }_n=\frac{x_1+x_2+\dots +x_{N^{\prime }}+x_{N^{\prime }+1}+\dots +x_n}{n}$$

Разделим эту дробь на две:

$${\xi }_n=\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+\frac{x_{N^{\prime }+1}+\dots +x_n}{n}$$

Рассмотрим дробь справа:

$$\frac{x_{N^{\prime }+1}+\dots +x_n}{n}$$

Для каждого слагаемого в числителе выполняется неравенство $x_i>3M^{\prime }$, поэтому можно заменить все эти слагаемые на $3M^{\prime }$:

$$\frac{x_{N^{\prime }+1}+\dots +x_n}{n}>\frac{3M^{\prime }+3M^{\prime }+\dots }{n}=3M^{\prime }\frac{n-N}{n}$$

$$\frac{x_{N^{\prime }+1}+\dots +x_n}{n}>3M^{\prime }\left(1-\frac{N}{n}\right)$$

Итак:

$${\xi }_n=\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+\underset{>3M^{\prime }\left(1-\frac{N}{n}\right)}{\underbrace{\frac{x_{N^{\prime }+1}+\dots +x_n}{n}}}$$

$${\xi }_n>\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+3M^{\prime }\left(1-\frac{N}{n}\right)$$

Найдем предел последовательности в скобках справа (принимая во внимание, что $N^{\prime }$ — константа):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{N^{\prime }}{n}\right)=1-N^{\prime }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=1-N^{\prime }\cdot 0=1$$

Мы воспользовались тем, что $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Мы показали, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }1-\frac{N^{\prime }}{n}=1$$

По определению это значает, что

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:\left|1-\frac{N}{n}-1\right|<\epsilon$$

Раз выполняется для любого положительного $\epsilon$, то выполняется и для $\frac{1}{2}$. Итак, для $\frac{1}{2}$ существует такое $N^{\prime \prime }$, что для любого $n>N^{\prime \prime }$ выполняется неравенство:

$$\left|1-\frac{N^{\prime }}{n}-1\right|<\frac{1}{2}$$

Упростим это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

$$\left|1-\frac{N^{\prime }}{n}-1\right|<\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}1-\frac{N^{\prime }}{n}-1<\frac{1}{2}\\ 1-\frac{N^{\prime }}{n}-1>-\frac{1}{2}\end{array}$$

Рассмотрим нижнее неравенство справа:

$$1-\frac{N^{\prime }}{n}-1>-\frac{1}{2}$$

Прибавим к обеим частям $1$:

$$1-\frac{N^{\prime }}{n}>\frac{1}{2}$$

Возвращаемся к нашему неравенству с ${\xi }_n$:

$${\xi }_n>\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+3M^{\prime }\underset{>\frac{1}{2}}{\underbrace{\left(1-\frac{N^{\prime }}{n}\right)}}$$

$${\xi }_n>\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+\frac{3M^{\prime }}{2}$$

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о $n>\max (N^{\prime },N^{\prime \prime })$, чтобы выполнялись сразу оба неравенства из определений для $x_n\to +\infty$ и $\left(1-\frac{N^{\prime }}{n}\right)\to 1$.

Рассмотрим теперь дробь

$$\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}$$

Найдем предел этой последовательности (принимая во внимание, что $x_1+\dots +x_{N^{\prime }}$ — константа):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}=(x_1+\dots +x_{N^{\prime }})\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

По определению это означает, что

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:\left|\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}\right|<\epsilon$$

Раз выполняется для любого положительного $\epsilon$, то и для числа $\frac{M^{\prime }}{2}$ найдется такое $N^{\prime \prime \prime }$, что для любого $n>N^{\prime \prime \prime }$ будет выполняться неравенство

$$\left|\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}\right|<\frac{M^{\prime }}{2}$$

Упростим это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

$$\left|\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}\right|<\frac{M^{\prime }}{2}\iff \{\begin{array}{l}\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}<\frac{M^{\prime }}{2}\\ \frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}>-\frac{M^{\prime }}{2}\end{array}$$

Рассмотрим нижнее неравенство справа:

$$\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}>-\frac{M^{\prime }}{2}$$

Прибавим к обеим частям $\frac{3M^{\prime }}{2}$:

$$\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+\frac{3M^{\prime }}{2}>-\frac{M^{\prime }}{2}+\frac{3M^{\prime }}{2}$$

$$\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+\frac{3M^{\prime }}{2}>M^{\prime }$$

Итак,

$${\xi }_n>\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}+\frac{3M^{\prime }}{2}>M^{\prime }$$

$${\xi }_n>M^{\prime }$$

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о $n>\max (N^{\prime },N^{\prime \prime },N^{\prime \prime \prime })$, чтобы выполнялись все три неравенства из определений для $x_n\to +\infty$, $\left(1-\frac{N^{\prime }}{n}\right)\to 1$ и $\frac{x_1+\dots +x_{N^{\prime }}}{n}\to 0$.

Мы показали, что какое бы положительное число $M$ мы не взяли, всегда найдутся три таких $N^{\prime },N^{\prime \prime },N^{\prime \prime \prime }$, что для любого $n>N=\max (N^{\prime },N^{\prime \prime },N^{\prime \prime \prime })$ будет выполняться неравенство:

$${\xi }_n=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}>M$$

$$\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}>M$$

Это по определению означает, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=+\infty$$