Демидович
144

Найти:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь результатами задач 60 и 64.

Решение

Пункт а)

В задаче 60 мы доказали, что

Предел, который нам надо найти, является частным случаем при , поэтому

Пункт б)

В задаче 64 мы доказали, что

Предел, который нам надо найти, является частным случаем при , поэтому

Разбор 2
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь теоремой Штольца.

Решение

Пункт а)

Строгое возрастание

Докажем, что

Последнее неравенство выполняется по условию.

Итак, мы доказали, что

Докажем, что

Рассмотрим последнее неравенство:

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию (знак неравенства не изменится, так как ):

Итак, для любого достаточно взять по следующей формуле:

Тогда любое натуральное после будет удовлетворять неравенству:

А значит

Итак, мы показали по определению, что .

Найдем следующий предел

Найдем теперь предел:

Здесь мы воспользовались тем, что раз — бесконечно большая, то — бесконечно малая (см. прото-задачу П.9).

По теореме Штольца:

Возвращаемся к изначальному пределу. По теореме Штольца:

Пункт б)

Строгое возрастание

Докажем, что

Последнее неравенство, очевидно, выполняется.

Итак, мы доказали, что

Докажем, что

Рассмотрим последнее неравенство:

Действительно, для любого мы всегда можем найти натуральное число, которое больше .

Поэтому, для любого всегда можно найти большее его натуральное число и все остальные натуральные числа после этого тоже будут больше .

Итак, мы показали по определению, что .

Найдем следующий предел

Рассмотрим внимательнее само выражение с логарифмом:

Замечаем, что по мере увеличения выражение в скобках будет все ближе и ближе к . А мы знаем, что логарифм от с любым основанием равен (потому что любое число в -ой степени дает ). С помощью этих простых рассуждений мы без всяких расчетов поняли, что предел будет равен .

Но нам требуется строгое доказательство. Можно пойти по долгому пути и воспользоваться определением предела. Но внутри скобок мы уже видим , а это одна из самых элементарных бесконечно малых последовательностей.

Поэтому просто докажем, что

Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием (так как , то знак неравенства не изменится):

Возведем обе части неравенства в степень :

В задаче 69 мы показали, что

возрастает и ограничена сверху числом , к которому она и сходится. Поэтому

Итак, мы доказали, что

Теперь можно "зажать" эту последовательность:

"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). А значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :

Итак, возвращаясь к пределу, который мы пытаемся найти:

По теореме Штольца:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Связь б.м. и б.б. последовательностей
Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.