Демидович
145

Доказать, что если — натуральное число, то:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Пункт а)

Строгое возрастание

Докажем, что

Последнее очевидно выполняется, так как — натуральное число.

Итак, мы доказали, что

Докажем, что

Рассмотрим последнее неравенство:

Возьмем из обеих частей неравенства корень степени :

Итак, для любого достаточно взять за число . Тогда, для любого натурального числа будет выполняться неравенство:

А значит и

Мы по определению доказали, что .

Для нахождения предела по теореме Штольца нам осталось только найти следующий предел отношения разности:

В знаменателе вынесем за скобки число :

Скобку в знаменателе правой части можно разложить на сумму членой геометрической прогрессии:

Пояснение про геометрическую прогрессию

Рассмотрим сумму членов геометрической прогрессии:

Доможим обе части равенства на :

Найдем предел:

Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).

Итак, мы доказали, что

По теореме Штольца:

Пункт в)

Дозательство полностью такое же, что и доказательство для пункта а), в особенности рассуждения про знаменатель.

Мы придем к следующему пределу:

Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).

Итак,

Указание

Во всех трех пунктах ход действий одинаковый:

  1. Передите к рассмотрению отношения разности по теореме Штольца
  2. Числитель и разложите по формуле бинома Ньютона (достаточно первых двух членов)
  3. В числителе и знаменателе вынесите за скобки с наибольшим показателем степени
Решение

Пункт а)

В знаменателе имеем последовательность натуральных чисел, возведенных в степень . Очевидно, что эта последовательность при любом натуральном строго возрастает и стремится к .

Это означает, что мы можем попробовать воспользоваться теоремой Штольца (см. задачу 143). Для этого найдем предел отношения разности:

Раскроем скобки в числителе и знаменателе с помощью формулы бинома Ньютона (см. задачу 5):

Сразу обращу внимание, что число является данной нам по условию константой. Это означает, что в разложении по биному Ньютона в числителе и знаменателе имеем конечное число слагаемых. Просто мы не выписываем их все и часть из них под скрываем под троеточием.

Вынесем за скобку в числителе и знаменателе:

Вынесенное за скобку в числителе и знаменателе сокращается. Так как число слагаемых конечно, то мы используем свойство перехода к сумме пределов для каждого их них. Все слагаемые в числителе и знаменателе, кроме первых, представляют собой элементарные последовательности вида (см. прото-задачу П.10).

Итак, предел существует. Значит, по теореме Штольца, данная по условию последовательность тоже сходится и имеет такой же предел:

Пункт б)

Приведем обе дроби к общему знаменателю:

В знаменателе имеем последовательность натуральных чисел в натуральной степени , которые умножаются на натуральное . Очевидно, что эта последовательность строго возрастает и стремится к .

Это означает, что мы можем попробовать воспользоваться теоремой Штольца. Для этого найдем предел отношения разности:

В числителе и знаменателе раскроем скобки в степени с помощью формулы бинома Ньютона.

Числитель

Знаменатель

Вынесем за скобку в числителе и знаменателе:

Вынесенное за скобку в числителе и знаменателе сокращается. Так как число слагаемых конечно, то мы используем свойство перехода к сумме пределов для каждого их них. Все слагаемые в числителе и знаменателе, кроме первых, представляют собой элементарные последовательности вида (см. прото-задачу П.10).

Итак, предел существует. Значит, по теореме Штольца, данная по условию последовательность тоже сходится и имеет такой же предел:

Пункт в)

Как и в двух предыдущих пунктах, последовательность в знаменателе строго возрастает и стремится к . Попробуем воспользоваться теоремой Штольца. Для этого найдем предел отношения разности:

Выпишем первые несколько членов разложения числителя и знаменателя по формуле бинома Ньютона:

Вынесем за скобку в числителе и знаменателе:

Вынесенное за скобку в числителе и знаменателе сокращается. Так как число слагаемых конечно, то мы используем свойство перехода к сумме пределов для каждого их них. Все слагаемые в числителе и знаменателе, кроме первых, представляют собой элементарные последовательности вида (см. прото-задачу П.10).

Итак, предел существует. Значит, по теореме Штольца, данная по условию последовательность тоже сходится и имеет такой же предел:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.