Доказать, что если — натуральное число, то:
Доказать, что если — натуральное число, то:
Докажем, что
Последнее очевидно выполняется, так как — натуральное число.
Итак, мы доказали, что
Докажем, что
Рассмотрим последнее неравенство:
Возьмем из обеих частей неравенства корень степени :
Итак, для любого достаточно взять за число . Тогда, для любого натурального числа будет выполняться неравенство:
А значит и
Мы по определению доказали, что .
Для нахождения предела по теореме Штольца нам осталось только найти следующий предел отношения разности:
В знаменателе вынесем за скобки число :
Скобку в знаменателе правой части можно разложить на сумму членой геометрической прогрессии:
Рассмотрим сумму членов геометрической прогрессии:
Доможим обе части равенства на :
Найдем предел:
Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).
Итак, мы доказали, что
По теореме Штольца:
Дозательство полностью такое же, что и доказательство для пункта а), в особенности рассуждения про знаменатель.
Мы придем к следующему пределу:
Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).
Итак,
Во всех трех пунктах ход действий одинаковый:
В знаменателе имеем последовательность натуральных чисел, возведенных в степень . Очевидно, что эта последовательность при любом натуральном строго возрастает и стремится к .
Это означает, что мы можем попробовать воспользоваться теоремой Штольца (см. задачу 143). Для этого найдем предел отношения разности:
Раскроем скобки в числителе и знаменателе с помощью формулы бинома Ньютона (см. задачу 5):
Сразу обращу внимание, что число является данной нам по условию константой. Это означает, что в разложении по биному Ньютона в числителе и знаменателе имеем конечное число слагаемых. Просто мы не выписываем их все и часть из них под скрываем под троеточием.
Вынесем за скобку в числителе и знаменателе:
Вынесенное за скобку в числителе и знаменателе сокращается. Так как число слагаемых конечно, то мы используем свойство перехода к сумме пределов для каждого их них. Все слагаемые в числителе и знаменателе, кроме первых, представляют собой элементарные последовательности вида (см. прото-задачу П.10).
Итак, предел существует. Значит, по теореме Штольца, данная по условию последовательность тоже сходится и имеет такой же предел:
Приведем обе дроби к общему знаменателю:
В знаменателе имеем последовательность натуральных чисел в натуральной степени , которые умножаются на натуральное . Очевидно, что эта последовательность строго возрастает и стремится к .
Это означает, что мы можем попробовать воспользоваться теоремой Штольца. Для этого найдем предел отношения разности:
В числителе и знаменателе раскроем скобки в степени с помощью формулы бинома Ньютона.
Вынесем за скобку в числителе и знаменателе:
Вынесенное за скобку в числителе и знаменателе сокращается. Так как число слагаемых конечно, то мы используем свойство перехода к сумме пределов для каждого их них. Все слагаемые в числителе и знаменателе, кроме первых, представляют собой элементарные последовательности вида (см. прото-задачу П.10).
Итак, предел существует. Значит, по теореме Штольца, данная по условию последовательность тоже сходится и имеет такой же предел:
Как и в двух предыдущих пунктах, последовательность в знаменателе строго возрастает и стремится к . Попробуем воспользоваться теоремой Штольца. Для этого найдем предел отношения разности:
Выпишем первые несколько членов разложения числителя и знаменателя по формуле бинома Ньютона:
Вынесем за скобку в числителе и знаменателе:
Вынесенное за скобку в числителе и знаменателе сокращается. Так как число слагаемых конечно, то мы используем свойство перехода к сумме пределов для каждого их них. Все слагаемые в числителе и знаменателе, кроме первых, представляют собой элементарные последовательности вида (см. прото-задачу П.10).
Итак, предел существует. Значит, по теореме Штольца, данная по условию последовательность тоже сходится и имеет такой же предел: