Упрощаем $E_x$

Сначала разберемся, что из себя представляет запись:

$$0<|x|\le 1$$

Ее можно записать в виде двух одновременно выполняющихся условий:

$$\{\begin{array}{l}0<|x|\\ |x|\le 1\end{array}$$

Будем пользоваться способами упрощения неравенств с модулями (см. прото-задачу П-ссылка).

Для первого неравенства имеем:

$$0<|x|\iff [\begin{array}{l}x>0\\ x<0\end{array}$$

Другими словами, $x$ может быть любым кроме $0$, то есть $x\ne 0$.

Для второго неравенства имеем:

$$|x|\le 1\iff -1\le x\le 1$$

Объединяя полученные результаты, $x$ должен удовлетворять следующему условию:

$$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ -1\le x\le 1\end{array}$$

Находим $E_y$

Имеем функцию котангенса, причем любой $x$ умножается на $\frac{\pi }{4}$, поэтому нам просто нужно найти, какие значения принимает функция $\mathrm{ctg}$ при следующих значениях аргумента:

$$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ -\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{4}\end{array}$$

Мы начинаем наш путь от точки $x=-\frac{\pi }{4}$:

$$\mathrm{ctg}-\frac{\pi }{4}=-1$$

Далее $x$ «движется» в сторону $0$. Функция котангенса на этом полуинтервале $[-\frac{\pi }{4},0)$ стремится к $-\infty$.

Затем мы «перескакиваем» $0$ и движемся к $x=\frac{\pi }{4}$. Функция котангенса на этом полуинтервале $(0,\frac{\pi }{4}]$ принимает значения от $+\infty$ до $1$.

Объединяя вместе оба рассуждения выше получаем, что при рассматриваемых $x$ наша функция $y$ принимает все значения, кроме интервала $(-1,1)$.

$$E_y=(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$$

Можно провести действия, обратные действиям из раздела «Упрощаем $E_y$». Тогда $E_y$ можно записать другим образом:

$$E_y=1\le |y|<+\infty$$