Демидович
181

На какое множество отображает множество функция , если:

Ответ

или

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Упрощаем

Сначала разберемся, что из себя представляет запись:

Ее можно записать в виде двух одновременно выполняющихся условий:

Будем пользоваться способами упрощения неравенств с модулями (см. прото-задачу П.5).

Для первого неравенства имеем:

Другими словами, может быть любым кроме , то есть .

Для второго неравенства имеем:

Объединяя полученные результаты, должен удовлетворять следующему условию:

Находим

Имеем функцию котангенса, причем любой умножается на , поэтому нам просто нужно найти, какие значения принимает функция при следующих значениях аргумента:

Мы начинаем наш путь от точки :

Далее "движется" в сторону . Функция котангенса на этом полуинтервале стремится к .

Затем мы "перескакиваем" и движемся к . Функция котангенса на этом полуинтервале принимает значения от до .

Объединяя вместе оба рассуждения выше получаем, что при рассматриваемых наша функция принимает все значения, кроме интервала .

Можно провести действия, обратные действиям из раздела "Упрощаем ". Тогда можно записать другим образом:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.