Демидович
19

Пусть есть множество всех сумм , где и . Доказать равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Написать

Решение

Пункт а)

Нужно доказать два пункта:

Доказательство п.1)

Докажем от противного:

То есть, существует такая сумма , которая меньше суммы инфинумов множеств и . Раз существует сумма, то существуют и составляющие ее слагаемые: и .

Из определения :

Из определения :

Сложим оба неравенства:

Получаем два противоречащих друг другу неравенства:

То есть, одновременно меньше и не меньше суммы инфинумов. Противоречие.

Значит, выполняется обратное, то есть

Доказательство п.2)

Докажем от противного:

То есть, существует такое что произвольная сумма не будет меньше суммы инфинумов и . Раз мы рассматриваем произвольную сумму , то есть какие-то и , из которых она состоит.

Из определения :

Так как это выражение работает для любого , то оно работает и для :

Из определения :

Так как это выражение работает для любого , то оно работает и для :

Итак, имеем два неравенства:

Сложим их:

Итак, по предположению от противного,

Раз выполняется для всех сумм, то выполняется и для суммы , поэтому получаем два противоречащих друг другу неравенства:

Сумма получается одновременно меньше и не меньше суммы инфинумов и . Противоречение.

Значит, выполняется обратное, то есть

Итак, по пункту 1) сумма является нижней гранью множества , а по пункту 2) она является точной нижней гранью:

Пункт б)

Доказательство точно такое же, как и доказательство а), приведенное выше, только доказать надо следующие два пункта:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!