Задача 199 — Демидович

Новый проект на основе наработок этого сайта.

Понятная теория, конспекты и задачник в одном сайте!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Найти целую рациональную функцию третьей степени:

$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d,$

если $f (- 1) = 0$ , $f (0) = 2$ , $f (1) = - 3$ , $f (2) = 5$ .

Ответ

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} - \frac{29}{6} x + 2$

Указание

Подставить значения и решить систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

Так как $f (0) = 2$ , то, заменяя $f (0)$ на соответствующую функцию:

$a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d = 2 d = 2$

Для оставшихся известных значений составим систему уравнений с тремя неизвестными, заменяя $d$ на найденное для него значение:

$⎩ ⎨ ⎧ - a + b - c + 2 = 0 a + b + c + 2 = - 3 8 a + 4 b + 2 c + 2 = 5$

Сложим первое и второе уравнения:

$2 b + 4 = - 3 2 b = - 7 b = - \frac{7}{2}$

Выразим $a$ через $c$ в первом уравнении, подставляя найденное значение для $b$ :

$- a - \frac{7}{2} - c + 2 = 0 a = - \frac{3}{2} - c$

Подставим это в третье уравнение:

$- 12 - 8 c - 14 + 2 c + 2 = 5 - 6 c = 29 c = - \frac{29}{6}$

Теперь найдем само значение $a$ через найденное значение $c$ :

$a = - \frac{3}{2} + \frac{29}{6} = \frac{10}{3}$

Итак, искомая функция имеет вид:

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} - \frac{29}{6} x + 2$