Демидович
212

Найти , если

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Поиск функции

Дополните формулу функции до полного квадрата.

Обозначьте за .

Новое ограничение на

Обозначьте за и, выразив через , получите ограничение на .

Воспользуйтесь прото-задачами П.5 и П.3.

Решение

Поиск функции

Имеем

Дополним до полного квадрата:

Обозначим за :

Новое ограничение на

Выше мы нашли функцию и обозначили за . Сейчас, чтобы не путаться, обозначим за .

В условии задачи на наложено ограничение: . Нам нужно узнать, какое теперь ограничение лежит на ?

Выразим через :

Получили квадратное уравнение. Это означает, что мы не можем напрямую выразить через .

Найдем два корня через дискриминант:

Найденные корни можно считать за функции . Другими словами при попытке выразить через мы получили две функции, которые вместе и представляют собой выражение от .

Естественно, на каждую из этих корней-функций дествует ограничение .


Решим неравенство для :

Избавимся от модуля по прото-задаче П.5:

Проведем упрощения справа:

Для решения получившихся справа неравенств с корнями воспользуемся прото-задачей П.3.

Верхнее неравенство

Рассмотрим отдельно строгое неравенство и случай, когда выражения слева и справа равны.


Осталось только найти случай равенства:

Без угрызений совести возводим обе части равенства в квадрат:


Объединяя результат строгого неравенства и уравнения, получаем, что:

Нижнее неравенство

Рассмотрим отдельно строгое неравенство и случай, когда выражения слева и справа равны.

Обратите внимание на два нижних неравенства. Они противоречат друг другу. Это значит, что нет таких , чтобы выполнялось наше строгое неравенство.


Найдем случай равенства:

Возводим обе части равенства в квадрат:

Пытаемся подставить этот в исходное равенство и получаем противоречие: корень слева равен отрицательному числу справа.


Итак, нет таких , что

Результат:

Итак, для функции неравенству удовлетворяют следующие :


Аналогичные действия (мне вас жаль) проводим для неравенства и получаем, что:


Итак, объединяя результаты неравенств и , получаем, что на действует следующее ограничение:

Вспоминаем, что у нас лишь для удобства. На самом деле мы заменяли на "новый" . Поэтому ограничение для нового :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Иррациональные неравенства
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с корнями четных степеней.
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.