Демидович
221

Исследовать на монотонность следующие функции:

Ответ

Пункт а)

Возрастает при и убывает при .

Пункт б)

При убывает в интервале и возрастает в интервале .

Пункт в)

Возрастает на всей области определения.

Пункт г)

Убывает при и возрастает при на промежутках и .

Пункт д)

Возрастает при и убывает при .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Пункт б)

Сначала исследуйте на монотонность функцию:

Затем, путем выделения полного квадрата в , приведите ее к ислледованому виду выше.

Пункт в)

Воспользуйтесь формулой разности кубов:

Используйте полученное в пункте б) разложение квадратичной функции.

Пункт г)

Сначала исследуйте на монотонность функцию:

Затем, путем эквивалентных преобразований избавьтесь от в числителе , и приведите ее к исследованному виду выше.

Пункт д)

Смотрите прото-задачу П.2.

Решение

Для всех пунктов ниже будем брать и из области определения, такие, что .

Пункт а)

Пусть :

Итак, при функция константно равна .

Пусть :

Возьмем произвольные . Тогда

Мы доказали, что .

Итак, при функция монотонно возрастает на всей области определения.

Пусть . Тогда

Поделим обе части на . Так как , то знак неравенства меняем на противоположный:

Мы доказали, что .

Итак, при функция монотонно убывает на всей области определения.

Пункт б)

Рассматривать этот пункт имеет смысл при , так как при получаем пункт а).

Исследуем на монотонность следующию функцию:

Исследуем

Докажем для .

Возьмем наши и из положительной полуоси :

Раз оба числа неотрицательны, то их можно возвести в квадрат:

Умножим обе части неравенства на положительное число :

Прибавим к обеим частям :

Это означает, что на промежутке наша функция возрастает. Аналогично можно показать, что на промежутке она убывает.

В случае ситуация обратная: на отрицательной полуоси функция возрастает, а на положительной — убывает.

Выяснили, что такая функция монотонна на двух промежутках, разделенных точкой . До этого промежутка она убывает () / возрастает (), а после — возрастает / убывает.

Теперь рассмотрим требуемую по условию функцию:

Вынесем за скобки :

Внутри скобок выделим полный квадрат:

Занесем в квадратные скобки:

Замечаем, что второе слагаемое состоит только из констант и , а потому оно само по себе является некоторой константой :

Обозначим скобку за и получаем знакомую функцию:

Мы уже выяснили выше, что такая функция монотонна на двух промежутках, которые разделены точкой . Перейдем теперь от к :

Итак, данная нам по условию функция убывает () / возрастает () на промежутке и возрастает / убывает на промежутке .

Пункт в)

Докажем, что:

Воспользуемся формулой разности кубов:

Левая скобка всегда положительна. Докажем, что и правая скобка тоже строго больше :

Если и неотрицательны, то все слагаемые больше , поэтому неравенство выполняется. Если и отрицательные, то первое и последнее слагаемые больше нуля, а второе представляет собой произведение двух отрицательных чисел, то есть тоже положительное.

Остался последний вариант: и . Вынесем за скобки :

Делим обе части неравенства на :

Слева имеем квадратичную функцию общего вида. В пункте б) мы вывели альтернативную формулу для таких функций. Воспользуемся ей:

Оба слагаемых больше нуля.

Итак, мы доказали, что

Это означает, что функция монотонно возрастает на всей области определения.

Пункт г)

Сначала исследуем на монотонность функцию:

Исследуем

Пусть . Возьмем и из положительной полуоси найдем знак неравенства:

Так как и являются строго положительными числами, то умножим обе части неравенства на :

Значит,

Это означает, что исследуемая функция на интервале при монотонно убывает. Аналогично можно показать, что если и взяты из отрицательной полуоси она также монотонно убывает.

Точно так же можно доказать, что при функция монотонно возрастает на отрицательной и положительной полуосях по отдельности.

Выяснили, что такая функция монотонна на двух промежутках, разделенных точкой . При она убывает на этих промежутках. При она возрастает на этих промежутках.

Теперь рассмотрим требуемую по условию функцию:

Избавимся от в числителе. Для этого вынесем за скобки в числителе и в знаменателе:

Теперь проведем следующие преобразования:

Обозначим знаменатель с за и получаем знакомую функцию:

Мы уже выяснили выше, что такая функция монотонна на двух промежутках, которые разделены точкой . Перейдем теперь от к :

Итак, функция монотонно убывает (при ) и возрастает (при ) на промежутках и

Пункт д)

Согласно прото-задаче П.2 показательствая функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Монотонность показательной функции
Показательная функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .

Вся необходимая теория для решения этой задачи понятно и подробно расписана в статье: