221 | Демидович. Решения

Для всех пунктов ниже будем брать $x_{1}$ и $x_{2}$ из области определения, такие, что $x_{2} > x_{1}$ .

Пункт а)

$f (x) = a x + b$

Пусть $a = 0$ :

$f (x) = 0 \cdot x + b f (x) = b$

Итак, при $a = 0$ функция $f (x)$ константно равна $b$ .

Пусть $a > 0$ :

Возьмем произвольные $x_{2} > x_{1}$ . Тогда

$f (x_{2}) ? f (x_{1}) a x_{2} + b ? a x_{1} + b a x_{2} ? a x_{1} x_{2} > x_{1}$

Мы доказали, что $f (x_{2}) > f (x_{1})$ .

Итак, при $a > 0$ функция $f (x)$ монотонно возрастает на всей области определения.

Пусть $a < 0$ . Тогда

$f (x_{2}) ? f (x_{1}) a x_{2} + b ? a x_{1} + b a x_{2} ? a x_{1}$

Поделим обе части на $a$ . Так как $a < 0$ , то знак неравенства меняем на противоположный:

$x_{2} < x_{1}$

Мы доказали, что $f (x_{2}) < f (x_{1})$ .

Итак, при $a > 0$ функция $f (x)$ монотонно убывает на всей области определения.

Пункт б)

Рассматривать этот пункт имеет смысл при $a \neq = 0$ , так как при $a = 0$ получаем пункт а).

Исследуем на монотонность следующию функцию:

$a x^{2} + c$

Исследуем

Докажем для $a > 0$ .

Возьмем наши $x_{1}$ и $x_{2}$ из положительной полуоси $[0, + \infty)$ :

$x_{2} > x_{1} \geq 0$

Раз оба числа неотрицательны, то их можно возвести в квадрат:

$x_{2}^{2} > x_{1}^{2}$

Умножим обе части неравенства на положительное число $a$ :

$a x_{2}^{2} > a x_{1}^{2}$

Прибавим к обеим частям $c$ :

$a x_{2}^{2} + c > a x_{1}^{2} + c$

Это означает, что на промежутке $[0, + \infty)$ наша функция возрастает. Аналогично можно показать, что на промежутке $(- \infty, 0]$ она убывает.

В случае $a < 0$ ситуация обратная: на отрицательной полуоси функция возрастает, а на положительной — убывает.

Выяснили, что такая функция монотонна на двух промежутках, разделенных точкой $x = 0$ . До этого промежутка она убывает ( $a > 0$ ) / возрастает ( $a < 0$ ), а после — возрастает / убывает.

Теперь рассмотрим требуемую по условию функцию:

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Вынесем за скобки $a$ :

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$

Внутри скобок выделим полный квадрат:

$a [(x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}) - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} + \frac{c}{a}]$

$a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a ^{2}}]$

Занесем $a$ в квадратные скобки:

$f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$

Замечаем, что второе слагаемое состоит только из констант $a, b$ и $c$ , а потому оно само по себе является некоторой константой $C$ :

$f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + C$

Обозначим скобку за $t$ и получаем знакомую функцию:

$f (t) = a t^{2} + C$

Мы уже выяснили выше, что такая функция монотонна на двух промежутках, которые разделены точкой $t = 0$ . Перейдем теперь от $t$ к $x$ :

$t = 0 x + \frac{b}{2 a} = 0$

$x = - \frac{b}{2 a}$

Итак, данная нам по условию функция $f (x)$ убывает ( $a > 0$ ) / возрастает ( $a < 0$ ) на промежутке $(- \infty, - \frac{b}{2 a}]$ и возрастает / убывает на промежутке $[- \frac{b}{2 a}, + \infty)$ .

Пункт в)

$f (x) = x^{3}$

Докажем, что:

$f (x_{2}) > f (x_{1}) x_{2}^{3} > x_{1}^{3} x_{2}^{3} - x_{1}^{3} > 0$

Воспользуемся формулой разности кубов:

$(x_{2} - x_{1}) (x_{2}^{2} + x_{2} x_{1} + x_{1}^{2}) > 0$

Левая скобка всегда положительна. Докажем, что и правая скобка тоже строго больше $0$ :

$x_{2}^{2} + x_{2} x_{1} + x_{1}^{2} > 0$

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ неотрицательны, то все слагаемые больше $0$ , поэтому неравенство выполняется. Если $x_{1}$ и $x_{2}$ отрицательные, то первое и последнее слагаемые больше нуля, а второе представляет собой произведение двух отрицательных чисел, то есть тоже положительное.

Остался последний вариант: $x_{1} < 0$ и $x_{2} > 0$ . Вынесем за скобки $x_{2}^{2}$ :

$x_{2}^{2} [1 + \frac{x _{1}}{x _{2}} + (\frac{x _{1}}{x _{2}})^{2}] > 0$

Делим обе части неравенства на $x_{2}^{2}$ :

$1 + \frac{x _{1}}{x _{2}} + (\frac{x _{1}}{x _{2}})^{2} > 0$

Слева имеем квадратичную функцию общего вида. В пункте б) мы вывели альтернативную формулу для таких функций. Воспользуемся ей:

$1 + \frac{x _{1}}{x _{2}} + (\frac{x _{1}}{x _{2}})^{2} = (\frac{x _{1}}{x _{2}} + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$

$(\frac{x _{1}}{x _{2}} + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$

Оба слагаемых больше нуля.

Итак, мы доказали, что

$f (x_{2}) > f (x_{1})$

Это означает, что функция $x^{3}$ монотонно возрастает на всей области определения.

Пункт г)

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Сначала исследуем на монотонность функцию:

$C_{1} + \frac{C _{2}}{x}$

Исследуем

Пусть $C_{2} > 0$ . Возьмем $x_{1}$ и $x_{2}$ из положительной полуоси $(0, + \infty)$ найдем знак неравенства:

$f (x_{2}) ? f (x_{1}) C_{1} + \frac{C _{2}}{x _{2}} ? C_{1} + \frac{C _{2}}{x _{1}} \frac{C _{2}}{x _{2}} ? \frac{C _{2}}{x _{1}} \frac{1}{x _{2}} ? \frac{1}{x _{1}}$

Так как $x_{1}$ и $x_{2}$ являются строго положительными числами, то умножим обе части неравенства на $x_{1} x_{2}$ :

$x_{1} < x_{2}$

Значит,

$f (x_{2}) < f (x_{1})$

Это означает, что исследуемая функция на интервале $(0, + \infty)$ при $C_{2} > 0$ монотонно убывает. Аналогично можно показать, что если $x_{1}$ и $x_{2}$ взяты из отрицательной полуоси $(- \infty, 0)$ она также монотонно убывает.

Точно так же можно доказать, что при $C_{2} < 0$ функция монотонно возрастает на отрицательной и положительной полуосях по отдельности.

Выяснили, что такая функция монотонна на двух промежутках, разделенных точкой $x = 0$ . При $C_{2} > 0$ она убывает на этих промежутках. При $C_{2} < 0$ она возрастает на этих промежутках.

Теперь рассмотрим требуемую по условию функцию:

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Избавимся от $x$ в числителе. Для этого вынесем за скобки $a$ в числителе и $c$ в знаменателе:

$\frac{a ( x + \frac{b}{a} )}{c ( x + \frac{d}{c} )}$

Теперь проведем следующие преобразования:

$\frac{a}{c} \cdot \frac{[ ( x + \frac{d}{c} ) + ( \frac{b}{a} - \frac{d}{c} ) ]}{x + \frac{d}{c}} = \frac{a}{c} (1 + \frac{\frac{b}{a} - \frac{d}{c}}{x + \frac{d}{c}}) = = \frac{a}{c} + \frac{\frac{b}{c} - \frac{a d}{c ^{2}}}{x + \frac{d}{c}} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{1}{c ^{2}} \cdot ( b c - a d )}{x + \frac{d}{c}}$

Обозначим знаменатель с $x$ за $t$ и получаем знакомую функцию:

$f (t) = C_{1} + \frac{\frac{1}{c ^{2}} \cdot ( b c - a d )}{t}$

$t = 0 x + \frac{d}{c} = 0$

$x = - \frac{d}{c}$

Итак, функция $f (x)$ монотонно убывает (при $b c - a d > 0$ ) и возрастает (при $b c - a d < 0$ ) на промежутках $(- \infty, - \frac{d}{c})$ и $(- \frac{d}{c}, + \infty)$

Пункт д)

$f (x) = a^{x} (a > 0)$

Согласно прото-задаче П.2 показательствая функция монотонно возрастает при $a > 1$ и монотонно убывает при $0 < a < 1$ .