Исследовать на монотонность следующие функции:
Исследовать на монотонность следующие функции:
Возрастает при и убывает при .
При убывает в интервале и возрастает в интервале .
Возрастает на всей области определения.
Убывает при и возрастает при на промежутках и .
Возрастает при и убывает при .
Сначала исследуйте на монотонность функцию:
Затем, путем выделения полного квадрата в , приведите ее к ислледованому виду выше.
Воспользуйтесь формулой разности кубов:
Используйте полученное в пункте б) разложение квадратичной функции.
Сначала исследуйте на монотонность функцию:
Затем, путем эквивалентных преобразований избавьтесь от в числителе , и приведите ее к исследованному виду выше.
Смотрите прото-задачу П.2.
Для всех пунктов ниже будем брать и из области определения, такие, что .
Пусть :
Итак, при функция константно равна .
Пусть :
Возьмем произвольные . Тогда
Мы доказали, что .
Итак, при функция монотонно возрастает на всей области определения.
Пусть . Тогда
Поделим обе части на . Так как , то знак неравенства меняем на противоположный:
Мы доказали, что .
Итак, при функция монотонно убывает на всей области определения.
Рассматривать этот пункт имеет смысл при , так как при получаем пункт а).
Исследуем на монотонность следующию функцию:
Докажем для .
Возьмем наши и из положительной полуоси :
Раз оба числа неотрицательны, то их можно возвести в квадрат:
Умножим обе части неравенства на положительное число :
Прибавим к обеим частям :
Это означает, что на промежутке наша функция возрастает. Аналогично можно показать, что на промежутке она убывает.
В случае ситуация обратная: на отрицательной полуоси функция возрастает, а на положительной — убывает.
Выяснили, что такая функция монотонна на двух промежутках, разделенных точкой . До этого промежутка она убывает () / возрастает (), а после — возрастает / убывает.
Теперь рассмотрим требуемую по условию функцию:
Вынесем за скобки :
Внутри скобок выделим полный квадрат:
Занесем в квадратные скобки:
Замечаем, что второе слагаемое состоит только из констант и , а потому оно само по себе является некоторой константой :
Обозначим скобку за и получаем знакомую функцию:
Мы уже выяснили выше, что такая функция монотонна на двух промежутках, которые разделены точкой . Перейдем теперь от к :
Итак, данная нам по условию функция убывает () / возрастает () на промежутке и возрастает / убывает на промежутке .
Докажем, что:
Воспользуемся формулой разности кубов:
Левая скобка всегда положительна. Докажем, что и правая скобка тоже строго больше :
Если и неотрицательны, то все слагаемые больше , поэтому неравенство выполняется. Если и отрицательные, то первое и последнее слагаемые больше нуля, а второе представляет собой произведение двух отрицательных чисел, то есть тоже положительное.
Остался последний вариант: и . Вынесем за скобки :
Делим обе части неравенства на :
Слева имеем квадратичную функцию общего вида. В пункте б) мы вывели альтернативную формулу для таких функций. Воспользуемся ей:
Оба слагаемых больше нуля.
Итак, мы доказали, что
Это означает, что функция монотонно возрастает на всей области определения.
Сначала исследуем на монотонность функцию:
Пусть . Возьмем и из положительной полуоси найдем знак неравенства:
Так как и являются строго положительными числами, то умножим обе части неравенства на :
Значит,
Это означает, что исследуемая функция на интервале при монотонно убывает. Аналогично можно показать, что если и взяты из отрицательной полуоси она также монотонно убывает.
Точно так же можно доказать, что при функция монотонно возрастает на отрицательной и положительной полуосях по отдельности.
Выяснили, что такая функция монотонна на двух промежутках, разделенных точкой . При она убывает на этих промежутках. При она возрастает на этих промежутках.
Теперь рассмотрим требуемую по условию функцию:
Избавимся от в числителе. Для этого вынесем за скобки в числителе и в знаменателе:
Теперь проведем следующие преобразования:
Обозначим знаменатель с за и получаем знакомую функцию:
Мы уже выяснили выше, что такая функция монотонна на двух промежутках, которые разделены точкой . Перейдем теперь от к :
Итак, функция монотонно убывает (при ) и возрастает (при ) на промежутках и
Согласно прото-задаче П.2 показательствая функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .
Вся необходимая теория для решения этой задачи понятно и подробно расписана в статье: