Функция , определенная на множестве , называется периодической, если существует число (период функции — в широком смысле слова!) такое, что
Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:
Функция , определенная на множестве , называется периодической, если существует число (период функции — в широком смысле слова!) такое, что
Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:
Непериодическая
Непериодическая
Обязательно подробно разберите пункт а) и убедитесь, что вы его полностью понимаете. Остальные пункты неявно используют умозаключения, выведенные имеено пункте а).
По прото-задаче П.7 нам известно, что основным (наименьшим) периодом для синуса и косинуса является .
Однако в нашем случае мы имеем не совсем обычный синус, а синус в котором аргумент умножается на некоторе число . Обозначим такой синус за :
Мы уже не можем быть уверены, что число является периодом функции , так как черт его знает, является ли периодом для синуса.
Но при применении получаем обычный синус, основной период которого равен . Значит, основной период равен такому числу, которое при домножении на дает . Нетрудно догадаться, что это число . Проверим:
Аналогичные рассуждения можно провести и для косинуса. Итак, мы нашли и доказали, что является основным периодом функций и .
Легко убедиться, что найденный период является периодом и для :
Причем этот период является основным, так как любое другое число не даст нам — основной период для и , которые входят в состав .
Также стоит отметить, что наши рассуждения работают только для случая , которое, по-хорошему, должно быть оговорено в условии задачи.
Замечаем, что основной период для всей не может быть меньше , иначе этот период не подойдет для (первое слагаемое в ).
Пусть тогда период равен . Проверим, действительно ли это период:
Значит, число является периодом , причем основным, как мы показали выше.
Замечаем, что основной период не может быть меньше , иначе этот период получится меньше для , чего не может быть, ведь основной период тангенса равен (см. прото-задачу П.7).
С другой стороны, период также должен нацело делиться на , иначе он не будет периодом для .
Единственный наименьший вариант: . Проверим, действительно ли это период :
Значит, число является периодом , причем основным, так как — наименьшее число, которое одновременно нацело делится и на и на .
Из формул приведения мы знаем, что
Проверим, является ли периодом :
Итак, является периодом функции .
Предположим, что — основной период . По определению это означает, что
Распишем подробнее:
Итак:
Из этого равенства следует, что является периодом, то есть
Замечаем, что слева от знака присутсвует . Это значит мы можем подобрать такой , чтобы он никак не равнялся правой части. Например:
Итак, при таком получаем, что
Но этого не может быть, так как какое бы целое мы не взяли, мы не получим из .
Противоречие. Это означает, что не является периодом . Такие рассуждения можно провести для любого числа и оно не будет являться периодом. Значит, периода у нет.
Получаем