Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 233
Нормальная

Функция , определенная на множестве , называется периодической, если существует число (период функции — в широком смысле слова!) такое, что

Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Пункт в)

Пункт г)

Пункт д)

Непериодическая

Пункт е)

Пункт ж) и з)

Непериодическая

Частичное
Решение

Обязательно подробно разберите пункт а) и убедитесь, что вы его полностью понимаете. Остальные пункты неявно используют умозаключения, выведенные имеено пункте а).

Пункт а)

По прото-задаче П-ссылка нам известно, что основным (наименьшим) периодом для синуса и косинуса является .

Однако в нашем случае мы имеем не совсем обычный синус, а синус в котором аргумент умножается на некоторе число . Обозначим такой синус за :

Мы уже не можем быть уверены, что число является периодом функции , так как черт его знает, является ли периодом для синуса.

Но при применении получаем обычный синус, основной период которого равен . Значит, основной период равен такому числу, которое при домножении на дает . Нетрудно догадаться, что это число . Проверим:

Аналогичные рассуждения можно провести и для косинуса. Итак, мы нашли и доказали, что является основным периодом функций и .

Легко убедиться, что найденный период является периодом и для :

Причем этот период является основным, так как любое другое число не даст нам — основной период для и , которые входят в состав .

Также стоит отметить, что наши рассуждения работают только для случая , которое, по-хорошему, должно быть оговорено в условии задачи.

Пункт б)

Замечаем, что основной период для всей не может быть меньше , иначе этот период не подойдет для (первое слагаемое в ).

Пусть тогда период равен . Проверим, действительно ли это период:

Значит, число является периодом , причем основным, как мы показали выше.

Пункт в)

Замечаем, что основной период не может быть меньше , иначе этот период получится меньше для , чего не может быть, ведь основной период тангенса равен (см. прото-задачу П-ссылка).

С другой стороны, период также должен нацело делиться на , иначе он не будет периодом для .

Единственный наименьший вариант: . Проверим, действительно ли это период :

Значит, число является периодом , причем основным, так как — наименьшее число, которое одновременно нацело делится и на и на .

Пункт г)

Из формул приведения мы знаем, что

Проверим, является ли периодом :

Итак, является периодом функции .

Пункт д)

Предположим, что — основной период . По определению это означает, что

Распишем подробнее:

Итак:

Из этого равенства следует, что является периодом, то есть

Замечаем, что слева от знака присутсвует . Это значит мы можем подобрать такой , чтобы он никак не равнялся правой части. Например:

Итак, при таком получаем, что

Но этого не может быть, так как какое бы целое мы не взяли, мы не получим из .

Противоречие. Это означает, что не является периодом . Такие рассуждения можно провести для любого числа и оно не будет являться периодом. Значит, периода у нет.

Решение

Пункт е)

Предположим, что — основной период . По определению это означает, что

Воспользуемся формулой тангенса суммы:

Отсюда:

Возводим обе части равенства в квадрат и проведем преобразования:

Выражение в скобках не может равняться (минимум ), поэтому единственный вариант — приравнять к нулю . А это возможно только при . Вариант с нам не подходит, а следующий вариант равен . Значит — основной период функции .

Пункт ж)

Предположим, что — основной период . По определению это означает, что

Мы знаем, что у функции тангенса период равен (П-ссылка). Среди минимальных значений рассмотрим и . Это дает нам два варианта для аргумента равенства выше:

В первом варианте получаем , что не подходит нам по определению периода функции.

Поработаем со вторым вариантом:

Откуда получаем, что является функцией от неизвестной :

Но период функции может быть только конкретным числом. Функией от он быть не может, поэтому — непериодическая функция.

Пункт з)

Воспользуемся формулой суммы синусов:

Предположим, что — основной период . По определению это означает, что

Сокращаем двойку:

Приравняем синусы в левой и правой частях равенства:

Приравниваем

Преобразуем правую часть:

Представим как синус суммы углов:

Используем полученное разложение в равенстве выше:

Это равенство выполняется при следующем условии:

За исключением варианта в качестве минимального нам подходит только:

Итак, для равенства синусов по обе стороны от большого равенства нам нужно, чтобы период был равен:

Приравняем косинусы в левой и правой частях равенства:

Приравниваем

Далее проводим те же действия, которые совершали и для синусов: раскладываем в сумму и пользуемся формулой косинуса суммы.

В итоге придем к тому, что равенство косинусов выше выполняется только если выполняется система:

Откуда получаем, что для равнества косинусов требуется следующий период:

Получается, что существует 2 периода, которые не равны между собой:

При использовании одного периода, не выполняется свойство периодичности для второй части функции.

Значит, функция непериодическая.