Доказывать будем для верхней грани. Доказательство для нижней аналогичное.

Верхняя грань

Покажем, что $M=f(b)$ является точной верхней гранью $f(x)$ на отрезке $[a,b]$.

Для начала покажем, что $M$ — верхняя граница $f(x)$, то есть:

$$\forall x\in [a,b]:f(x)\le M$$

Это действительно так, ведь по условию $f(x)$ монотонно возрастает, то есть, по определению:

$$x\le b\Rightarrow f(x)\le f(b)=M$$

$■$

Точная верхняя грань

Докажем от противного, что $M$ — точная верхняя грань $f(x)$. Пусть это не так и существует какая-то еще верхняя грань $t<M$. По определению верхней грани:

$$\forall x\in [a,b]:f(x)\le t$$

Но при $x=b$ имеем:

$$f(b)=M>t$$

Получили противоречие. Значит, никакой верхней грани меньше $M$ у $f(x)$ не может быть. Значит, $M$ — точная верхняя грань $f(x)$.

$■$