Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 387
Нормальная

Функция определена и монотонно возрастает на сегменте . Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?

Ответ

Точная верхняя грань: . Точная нижняя грань: .

Указание

Воспользуйтесь определением монотонно возрастающей функции и покажите, что является верхней гранью.

Докажите от противного, что является точной верхней гранью.

Доказательство для нижней грани аналогичное.

Решение

Доказывать будем для верхней грани. Доказательство для нижней аналогичное.

Верхняя грань

Покажем, что является точной верхней гранью на отрезке .

Для начала покажем, что — верхняя граница , то есть:

Это действительно так, ведь по условию монотонно возрастает, то есть, по определению:

Точная верхняя грань

Докажем от противного, что — точная верхняя грань . Пусть это не так и существует какая-то еще верхняя грань . По определению верхней грани:

Но при имеем:

Получили противоречие. Значит, никакой верхней грани меньше у не может быть. Значит, — точная верхняя грань .