Покажем, что $f(x)$ четная:

$$f(-x)=\frac{1}{1+(-x{)}^2}=\frac{1}{1+(-1{)}^2{x}^2}=\frac{1}{1+x^2}=f(x)$$

Значит, можем ограничиться только положительными $x$.

Верхняя грань

Как уже написали выше, изучаем положительные $x$:

$$x\ge 0$$

Возводим обе части в квадрат:

$$x^2\ge 0$$

Прибавляем к обеим частям $1$:

$$1+x^2\ge 1$$

Делим обе части на $1+x^2$:

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}\le 1$$

Получается, что $1$ является верхней границей $f(x)$. Она также является и точной, ведь, какую более маленькую границу не возьми, всегда $f(0)=1$ окажется больше ее. Поэтому $1$ является наименьшей, то есть точной верхней гранью $f(x)$.

Нижняя грань

Замечаем, что при увеличении $x$ знаменатель $f(x)$ уходит в бесконечность, отчего сама $f(x)$ уходит в $0$. Отсюда можно предположить, что $0$ и является точной нижней гранью.

По крайней мере, $0$ является обычной нижней границей, так как какой $x$ не возьми, $f(x)$ всегда будет строго больше $0$:

$$f(x)\ge 0\frac{1}{1+x^2}\ge 01\ge 0$$

Покажем, что $0$ является наибольшей нижней границей. Для этого построим следующую последовательность значений функции:

$$y_n=\frac{1}{1+n^2}$$

Ее предел равен $0$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$$

о определению это означает, что какую окрестность $0$ не возьми, в ней всегда будет находится бесконечное число значений функции. Значит, не может существовать никакой нижней границы, большей $0$, ведь тогда между ней и $0$ окажется бесконечно много значений функции.

Поэтому $0$ — точная нижняя грань $f(x)$.

$■$