Демидович
390

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Нижняя грань

Попробуйте построить последовательность из , которая стремится к и рассмотрите, к чем стремится последовательность значений функции.

Верхняя грань

Покажите, что дробь в является правильной.

Решение

Нижняя грань

Сразу замечаем, что при любых положительных больше . Значит, является нижней границей . Докажем, что он является точной нижней гранью .

По условию мы не можем просто взять . Но никто не мешает нам стремиться к . Рассмотрим следующую последовательность -ов:

Любой член этой последовательности находится в интервале из условия. Эта последовательность порождает последовательность значений функции :

Найдем предел этой последовательности:

Здесь мы воспользовались тем, что и являются элементарными последовательностями (см. прото-задачу П.10).

По определению это означает, что какую окрестность не возьми, в ней всегда будет находится бесконечное число значений функции. Значит, не может существовать никакой нижней границы, большей , ведь тогда между ней и окажется бесконечно много значений функции.

Значит — точная нижняя грань .

Верхняя грань

Найдем, при каких дробь в окажется правильной, то есть:

Итак, дробь в всегда правильная, но важно то, что мы показали, что . Значит — верхняя граница . Более того, никакой более маленькой верхней границы быть не может, ведь если бы она была, то оказалось бы больше нее.

Поэтому — точная верхняя грань .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.