Доказательство значения предела

Нам нужно доказать, что

$$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$$

По определению это означает, что нам нужно доказать верность следующего утверждения:

$$\forall \epsilon >0\exists \delta =\delta (\epsilon )>0:\left(0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^2-4|<\epsilon \right)$$

Если говорить простым языком, нам нужно из данного нам произвольного $\epsilon$ найти такое $\delta$, чтобы выполнялась импликация в скобках выражения выше.

Делать мы это будем хитрым образом. Мы попробуем эквивалентными преобразованиями неравенство $|x^2-4|<\epsilon$ как-то привести к виду $|x-2|<\text{?}(\epsilon )$. Тогда какое-то выражение $\text{?}(\epsilon )$ и можно будет обозначить за $\delta$.

Итак, пусть нам дано произвольное $\epsilon$. Поработаем с левой частью неравенства $|x^2-4|<\epsilon$, пользуясь свойствами модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

$$\begin{gathered} |x^2-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2||x+2|= \\ =|x-2||(x-2)+4|\le |x-2|\left(|x-2|+|4|\right)= \\ =|x-2{|}^2+4|x-2| \end{gathered}$$

Подведем итог преобразований:

$$|x^2-4|\le |x-2{|}^2+4|x-2|$$

Попробуем уже правую часть неравенства сделать меньше $\epsilon$. Тогда и $|x^2-4|$ будет автоматом меньше $\epsilon$:

$$\begin{gathered} |x-2{|}^2+4|x-2|<\epsilon \\ |x-2{|}^2+4|x-2|+4<\epsilon +4 \\ (|x-2|+2{)}^2<\epsilon +4 \\ |x-2|+2<\sqrt{\epsilon +4} \end{gathered}$$

$$|x-2|<\sqrt{\epsilon +4}-2$$

Итак, что мы получили? Теперь, если нам дадут какое-то произвольное число $\epsilon$, мы берем $\delta$ по следующей формуле:

$$\delta =\sqrt{\epsilon +4}-2$$

Тогда, для всех $x$ в окрестности точки $2$ с именно таким $\delta$ соответствующие значения функции будут меньше данного $\epsilon$ («пробегаясь» обратно по цепочке преобразований).

По определению это означает, что предел функции $x^2$ в точке $2$ равен $4$:

$$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$$

$■$

Заполнение таблицы

Теперь у нас есть формула для нахождения $\delta$ по данному $\epsilon$:

$$\delta (\epsilon )=\sqrt{\epsilon +4}-2$$

Последовательно берем значения для $\epsilon$ из таблицы, и добавляем в нее высчитанные значения $\delta$:

$$\begin{array}{cccccc}\epsilon & 0.1& 0.01& 0.001& 0.0001& \dots \\ \delta & 2.4\cdot 10^{-2}& 2.4\cdot 10^{-3}& 2.4\cdot 10^{-4}& 2.4\cdot 10^{-5}& \dots \end{array}$$