Доказательство значения предела

Нам нужно доказать, что

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(1-x{)}^2}=+\infty$$

По определению это означает, что нам нужно доказать верность следующего утверждения:

$$\forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:\left(0<|x-1|<\delta \Rightarrow \frac{1}{(1-x{)}^2}>E\right)$$

Если говорить простым языком, нам нужно из данного нам произвольного $\epsilon$ найти такое $\delta$, чтобы выполнялась импликация в скобках выражения выше.

Делать мы это будем хитрым образом. Мы попробуем эквивалентными преобразованиями неравенство $\frac{1}{(1-x{)}^2}>E$ как-то привести к виду $|x-1|<\text{?}(E)$. Тогда какое-то выражение $\text{?}(E)$ и можно будет обозначить за $\delta$.

Итак, пусть нам дано произвольное $\epsilon$. Поменяем местами слагаемые в знаменателе:

$$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{(-1{)}^2(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}$$

Итак, имеем следующее неравенство:

$$\frac{1}{(x-1{)}^2}>E$$

$$(x-1{)}^2<\frac{1}{E}$$

$$|x-1|<\frac{1}{\sqrt{E}}$$

Что мы получили? Теперь, если нам дадут какое-то произвольное число $E$, мы берем $\delta$ по следующей формуле:

$$\delta =\frac{1}{\sqrt{E}}$$

Тогда, для всех $x$ в окрестности точки $1$ с именно таким $\delta$ соответствующие значения функции будут превышать данную верхнюю границу $E$ («пробегаясь» обратно по цепочке преобразований).

По определению это означает, что предел функции $\frac{1}{(1-x{)}^2}$ в точке $1$ равен $+\infty$:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(1-x{)}^2}=+\infty$$

$■$

Заполнение таблицы

Теперь у нас есть формула для нахождения $\delta$ по данному $E$:

$$\delta (E)=\frac{1}{\sqrt{E}}$$

Последовательно берем значения для $\epsilon$ из таблицы, и добавляем в нее высчитанные значения $\delta$:

$$\begin{array}{cccccc}E& 10& 100& 1000& 10000& \dots \\ \delta & 3.16\cdot 10^{-1}& 0.1& 3.16\cdot 10^{-2}& 0.01& \dots \end{array}$$