Демидович
401

С помощью ""-рассуждений доказать, что

Заполнить следующую таблицу:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Выпишите определение предела функции в точке . Путем эквивалентных преобразований попробуйте перейти от неравенства к неравенству, где левая часть равна . Придя к такому неравенству, найдите зависимость от .

Решение

Доказательство значения предела

Нам нужно доказать, что

По определению это означает, что нам нужно доказать верность следующего утверждения:

Если говорить простым языком, нам нужно из данного нам произвольного найти такое , чтобы выполнялась импликация в скобках выражения выше.

Делать мы это будем хитрым образом. Мы попробуем эквивалентными преобразованиями неравенство как-то привести к виду . Тогда какое-то выражение и можно будет обозначить за .

Итак, пусть нам дано произвольное . Поработаем с левой частью неравенства , пользуясь свойствами модулей (см. прото-задачу П.1):

Подведем итог преобразований:

Попробуем уже правую часть неравенства сделать меньше . Тогда и будет автоматом меньше :

Итак, что мы получили? Теперь, если нам дадут какое-то произвольное число , мы берем по следующей формуле:

Тогда, для всех в окрестности точки с именно таким соответствующие значения функции будут меньше данного ("пробегаясь" обратно по цепочке преобразований).

По определению это означает, что предел функции в точке равен :

Заполнение таблицы

Теперь у нас есть формула для нахождения по данному :

Последовательно берем значения для из таблицы, и добавляем в нее высчитанные значения :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.