С помощью " — "-рассуждений доказать, что
Заполнить следующую таблицу:
С помощью " — "-рассуждений доказать, что
Заполнить следующую таблицу:
Выпишите определение предела функции в точке . Путем эквивалентных преобразований попробуйте перейти от неравенства к неравенству, где левая часть равна . Придя к такому неравенству, найдите зависимость от .
Нам нужно доказать, что
По определению это означает, что нам нужно доказать верность следующего утверждения:
Если говорить простым языком, нам нужно из данного нам произвольного найти такое , чтобы выполнялась импликация в скобках выражения выше.
Делать мы это будем хитрым образом. Мы попробуем эквивалентными преобразованиями неравенство как-то привести к виду . Тогда какое-то выражение и можно будет обозначить за .
Итак, пусть нам дано произвольное . Поработаем с левой частью неравенства , пользуясь свойствами модулей (см. прото-задачу П.1):
Подведем итог преобразований:
Попробуем уже правую часть неравенства сделать меньше . Тогда и будет автоматом меньше :
Итак, что мы получили? Теперь, если нам дадут какое-то произвольное число , мы берем по следующей формуле:
Тогда, для всех в окрестности точки с именно таким соответствующие значения функции будут меньше данного ("пробегаясь" обратно по цепочке преобразований).
По определению это означает, что предел функции в точке равен :
Теперь у нас есть формула для нахождения по данному :
Последовательно берем значения для из таблицы, и добавляем в нее высчитанные значения :