По сути, в задании требуется привести определения обыкновенного, левого и правого пределов функции в точке с примерами.
Откройте "Открытую Математику"!
Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!
Задача 403
Нормальная
Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:
Привести соответствующие примеры.
Зависимость
Указание
Решение
Пункт а)
Задача 401 как раз является примером такого предела:
Пункт б)
Функция сигнума , которая определяется в задаче 175, имеет разные пределы при подходе к слева или справа:
Доказательство
Достаточно за взять любое положительное число, например :
Нам нужно доказать, что выполняется импликация:
По определению функции сигнума, она равна при любом отрицательном аргменте. Поэтому для любого из интервала выполняется равенство: . Но тогда:
Это неравенство выполняется для любого , так как по определению предела функции. Это по определению означает, что левый предел сигнума в точке равен .
В качестве примера отлично годится все та же функция сигнума:
Зависимости