Найдем корни квадратных уравнений в числителе и знаменателе:

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-5)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-2}{x-5}$$

Пользуемся арифметическими свойствами предела и пределом многочлена из П-ссылка:

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-2}{x-5}=\frac{3-2}{3-5}=-\frac{1}{2}$$