Раз предел стремится к $1$, можно предположить, что $x=1$ является корнем уравений в числителе и знаменателе. Пользуясь этим, находим все остальные корни любым способом (например, делением многочленов уголком):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1{)}^2(x+2)}{(x-1{)}^2(x^2+2x+3)}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2}{x^2+2x+3} \end{gathered}$$

Пользуемся арифметическими свойствами предела и пределом многочлена из П-ссылка:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2}{x^2+2x+3}=\frac{1+2}{1+2+3}=\frac{1}{2}$$