Числитель

Из каждой скобки вынесем $x$ в соответствующей степени:

$$\begin{gathered} (x+1)(x^2+1)\dots (x^n+1)= \\ =x{x}^2\dots x^n\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\dots \left(1+\frac{1}{x^n}\right)= \\ =x^{1+2+\dots +n}\left(1+\frac{1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{1}{x^n}\right)= \\ =x^{\frac{n(n+1)}{2}}\left(1+\frac{1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{1}{x^n}\right) \end{gathered}$$

Выше мы воспользовались формулой суммы $n$ первых натуральных чисел. Она выводилась в задаче 1.

Знаменатель

Вытащим $x^n$ из под квадратных скобок:

$${\left[(nx{)}^n+1\right]}^{\frac{n+1}{2}}={\left[x^n\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)\right]}^{\frac{n+1}{2}}=x^{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)}^{\frac{n+1}{2}}$$

Значение предела

Воспользуемся полученными выражениями для числителя и знаменателя и, с помощью арифметический свойств пределов и прото-задачи П-ссылка найдем предел:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}\left(1+\frac{1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{1}{x^n}\right)}{x^{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)}^{\frac{n+1}{2}}}= \\ =\frac{\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x}\right)\dots \underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x^n}\right)}{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)}^{\frac{n+1}{2}}}= \\ =\frac{(1+0)\dots (1+0)}{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)}^{\frac{n+1}{2}}}=\frac{1}{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)}^{\frac{n+1}{2}}} \end{gathered}$$

В знаменателе воспользуемся теоремой о пределах сложной (П-ссылка) и степенной (П-ссылка) функций.

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)}^{\frac{n+1}{2}}=\left|\begin{array}{c}y(x)=n^n+\frac{1}{x^n}\\ \underset{x\to \infty }{\lim }y(x)=n^n\\ y\to n^n\end{array}\right|=\underset{y\to n^n}{\lim }{y}^{\frac{n+1}{2}}=n^{\frac{n(n+1)}{2}}$$

Это мы работали со знаменателем. Итак:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(x+1)(x^2+1)\dots (x^n+1)}{{\left[(nx{)}^n+1\right]}^{\frac{n+1}{2}}}=n^{-\frac{n(n+1)}{2}}$$