Демидович
42

Доказать, что есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный ), указав для всякого число , такое, что при , если:

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

Ответ

Пункт а)

Пункт б) и в)

Пункт г)

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Для каждого пункта подставить формулу для в неравенство .

Решить полученное неравенство относительно . Полученное неравенство относительно и будет условием выбора натуральных чисел .

Решение

Нужный ход действий указан прямо в условии. Нам нужно для произвольного подобрать такое натуральное , чтобы для любого выполнялось следующее неравенство:

Пункт а)

Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П.1):

Итак, изначальное неравенство сводится к следующему:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

По этой формуле мы получаем округление сверху ("потолок") числа . Из определения "потолка" числа:

Так как в условии у нас , то следующее натуральное число после будет :

Итак, мы показали, что любые натуральные удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.

Начнем заполнять таблицу:

Итоговая таблица:

Пункт б)

Модуль можно сразу снять, так как под модулем всегда положительное число:

Докажем следующее неравенство:

Знаменатель левой части представим в виде и по формуле суммы кубов. В числителе правой части вынесем за скобки и сократим на :

Сократим на и домножим на :

Очевидно, что для любого натурального :

Итак, мы доказали, что для любого натурального :

Если мы найдем такое, что для любого :

то автоматом (по доказанному выше неравенству) будет верно и

Итак, выразим из неравенства:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

Проверка того, что любое натуральное действительно будет удовлетворять неравенству в условии выполняется так же, как в пункте а).

Начнем заполнять таблицу:

Итоговая таблица:

Пункт в)

Докажем следующее неравенство:

Обе части умножаем на :

Если , то получаем равенство.

Делим обе части на :

Если , то при снова получаем равенство, а далее будет строго больше .

Итак, мы показали, что:

Если мы найдем такое, что для любого :

то автоматом (по доказанному выше неравенству) будет верно и

Но случай уже рассматривался в пункте а).

Таблица, соответственно, такая же.

Пункт г)

Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П.1):

Левый множитель можно разложить по тому же свойству: :

Значит, неравенство в условии превращается в такое:

Прологарифмируем это неравенство по основанию :

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

По этой формуле мы получаем округление сверху ("потолок") числа . Из определения "потолка" числа:

Так как в условии у нас , то следующее натуральное число после будет :

Итак, мы показали, что любые натуральные удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.

Начнем заполнять таблицу:

Итоговая таблица:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.