Пункт а)

Прегруппируем слагаемые в числителе:

$$x+x^2+\dots +x^n-n=(x-1)+(x^2-1)+\dots +(x^n-1)$$

Для каждого слагаемого справа воспользуемся равенством из прото-задачи П.4:

$$\begin{gathered} x+x^2+\dots +x^n-n= \\ =(x-1)+(x-1)(x+1)+\dots +(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +1)= \\ =(x-1)\left[1+(x+1)+\dots +(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +1)\right]= \\ =(x-1)\left[n+(n-1)x+(n-2)x^2+\dots +x^{n-1}\right] \end{gathered}$$

Теперь найдем предел, используя арифметические свойства предела и элеметарные пределы из П.28:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+x^2+\dots +x^n-n}{x-1}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)\left[n+(n-1)x+(n-2)x^2+\dots +x^{n-1}\right]}{x-1}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }n+(n-1)x+(n-2)x^2+\dots +x^{n-1}= \\ =n+(n-1)+(n-2)+\dots +1 \end{gathered}$$

В конце получаем сумму $n$ первых натуральных чисел. В задаче 1 мы вывели формулу для такой суммы:

$$n+(n-1)+(n-2)+\dots +1=\frac{n(n+1)}{2}$$

Итак:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+x^2+\dots +x^n-n}{x-1}=\frac{n(n+1)}{2}$$

Пункт б)

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}$$

Поколдуем немного над числителем:

$$x^{100}-2x+1=(x^{100}-1)-2x+2=(x^{100}-1)-2(x-1)=\dots$$

Воспользуемся равенством из П.4:

$$\begin{gathered} \dots =(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots +1)-2(x-1)= \\ (x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots -1) \end{gathered}$$

$$x^{100}-2x+1=(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots -1)$$

Аналогичные действия проводим со знаменателем и получаем:

$$x^{50}-2x+1=(x-1)(x^{49}+x^{48}+\dots -1)$$

С помощью арифметических свойств пределов и предела многочлена из П.28 найдем значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}= \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots -1)}{(x-1)(x^{49}+x^{48}+\dots -1)}= \\ =\frac{\stackrel{99}{\overbrace{1+1+1+\dots }}-1}{\underset{49}{\underbrace{1+1+1+\dots }}-1}=\frac{98}{48}=\frac{49}{24} \end{gathered}$$