Демидович
426

Найти значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Введите новую переменную:

С помощью этой замены, теоремы о пределе сложной функции (П.27) и формулы бинома Ньютона найдите значение предела.

Решение

Введем новое обозначение:

Найдем, к чему стремится при . Это элементарный предел (П.28):

Причем в любой проколотой окрестности точки .

И еще кое-что:

Теперь воспользуемся формулой из теоремы о пределе сложной функции (П.27):

Распишем, чему равен числитель, используя формулу бинома Ньютона (5):

Замечаем, что каждое слагаемое в получившемся выражении можно поделить на (которое имеется в знаменателе). Производим это деление. Теперь осталось лишь найти значение предела:

Разбор 2
Петр Радько
Указание

Используйте в решении равенство из прото-задачи П.4.

Решение

Итак, нам из числителя нужно два раза вытащить скобку , чтобы избавиться от деления на в знаменателе.

Сначала заменим в числителе на разложение из прото-задачи П.4:

Внутри квадратных скобок распределим штук на каждое слагаемое:

Для каждой скобки в квадратных скобках вновь воспользуемся равенством из П.4, предварительно вынеся за скобки :

Теперь найдем значение предела, используя его арифметические свойства, а также предел многочлена из П.28:

Выше мы воспользовались формулой суммы первых натуральных чисел, которая была выведена в задаче 1.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Разность степеней через произведение
Возможность записать разность двух чисел с одинаковыми показателями степени в виде произведения двух удобных скобок.
Предел сложной функции
Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.
Элементарные пределы
Пределы функций, к которым сводятся множество задач.