Найти значения следующих выражений:
Введите новую переменную:
С помощью этой замены, теоремы о пределе сложной функции (П.27) и формулы бинома Ньютона найдите значение предела.
Введем новое обозначение:
Найдем, к чему стремится при . Это элементарный предел (П.28):
Причем в любой проколотой окрестности точки .
И еще кое-что:
Теперь воспользуемся формулой из теоремы о пределе сложной функции (П.27):
Распишем, чему равен числитель, используя формулу бинома Ньютона (5):
Замечаем, что каждое слагаемое в получившемся выражении можно поделить на (которое имеется в знаменателе). Производим это деление. Теперь осталось лишь найти значение предела:
Используйте в решении равенство из прото-задачи П.4.
Итак, нам из числителя нужно два раза вытащить скобку , чтобы избавиться от деления на в знаменателе.
Сначала заменим в числителе на разложение из прото-задачи П.4:
Внутри квадратных скобок распределим штук на каждое слагаемое:
Для каждой скобки в квадратных скобках вновь воспользуемся равенством из П.4, предварительно вынеся за скобки :
Теперь найдем значение предела, используя его арифметические свойства, а также предел многочлена из П.28:
Выше мы воспользовались формулой суммы первых натуральных чисел, которая была выведена в задаче 1.