Введем новое обозначение:

$$y=x-a$$

Найдем, к чему $y$ стремится при $x\to a$. Это элементарный предел (П.28):

$$\underset{x\to a}{\lim }y(x)=\underset{x\to a}{\lim }x-a=a-a=0$$

Причем $y\ne 0$ в любой проколотой окрестности точки $a$.

И еще кое-что:

$$\begin{gathered} y=x-a \\ y+a=x \\ (y+a{)}^n=x^n \\ (y+a{)}^n-a^n=x^n-a^n \end{gathered}$$

Теперь воспользуемся формулой из теоремы о пределе сложной функции (П.27):

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{(x^n-a^n)-n{a}^{n-1}(x-a)}{(x-a{)}^2}= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{(y+a{)}^n-a^n-n{a}^{n-1}y}{y^2} \end{gathered}$$

Распишем, чему равен числитель, используя формулу бинома Ньютона (5):

$$\begin{gathered} y^n+n{y}^{n-1}a+\dots +ny{a}^{n-1}+a^n-a^n-ny{a}^{n-1}= \\ =y^n+n{y}^{n-1}a+\dots +\frac{n(n-1)}{2}{y}^2{a}^{n-2} \end{gathered}$$

Замечаем, что каждое слагаемое в получившемся выражении можно поделить на $y^2$ (которое имеется в знаменателе). Производим это деление. Теперь осталось лишь найти значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{y\to 0}{\lim }\left(y^{n-2}+n{y}^{n-3}+\dots +\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2}\right)= \\ =0+n\cdot 0+\dots +\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2} \end{gathered}$$

Итак, нам из числителя нужно два раза вытащить скобку $(x-a)$, чтобы избавиться от деления на $0$ в знаменателе.

Сначала заменим $x^n-a^n$ в числителе на разложение из прото-задачи П.4:

$$\begin{gathered} (x^n-a^n)-n{a}^{n-1}(x-a)= \\ =(x-a)\left[x^{n-1}+a{x}^{n-2}+\dots +a^{n-1}-n{a}^{n-1}\right]=\dots \end{gathered}$$

Внутри квадратных скобок распределим $n$ штук $a^{n-1}$ на каждое слагаемое:

$$\begin{gathered} \dots = \\ (x-a)\left[(x^{n-1}-a^{n-1})+a(x^{n-2}-a^{n-2})+\dots +a^{n-2}(x-a)\right] \\ =\dots \end{gathered}$$

Для каждой скобки в квадратных скобках вновь воспользуемся равенством из П.4, предварительно вынеся за скобки $(x-a)$:

$$\begin{array}{ccccc}{x}^{n-2}& a{x}^{n-3}& a^2{x}^{n-4}& \dots & a^{n-2}\\ & a{x}^{n-3}& a^2{x}^{n-4}& \dots & a^{n-2}\\ & & a^2{x}^{n-4}& \dots & a^{n-2}\\ & & & & \cdots \\ & & & & \\ x^{n-2}& 2a{x}^{n-3}& 3a^2{x}^{n-4}& \dots & (n-1)a^{n-2}\end{array}$$

$$\dots =(x-a{)}^2\left[x^{n-2}+2a{x}^{n-3}+\dots +(n-1)a^{n-2}\right]$$

Теперь найдем значение предела, используя его арифметические свойства, а также предел многочлена из П.28:

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{(x^n-a^n)-n{a}^{n-1}(x-a)}{(x-a{)}^2}= \\ =\underset{x\to a}{\lim }\left[x^{n-2}+2a{x}^{n-3}+\dots +(n-1)a^{n-2}\right]= \\ =a^{n-2}+2a^{n-2}+3a^{n-2}+\dots +(n-1)a^{n-2}= \\ =\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2} \end{gathered}$$

Выше мы воспользовались формулой суммы первых $n-1$ натуральных чисел, которая была выведена в задаче 1.