Числитель

В числителе имеем сумму квадратов нечетных чисел:

$$1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2$$

Каждый квадрат нечетного числа имеет вид:

$$(2n-1{)}^2=4n^2-4n+1$$

Пользуясь эти разложением, можем представить сумму в следующем виде:

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccc}& 4\cdot 1^2-4\cdot 1+1& 1^2\\ +& 4\cdot 2^2-4\cdot 2+1& 3^2\\ +& 4\cdot 3^2-4\cdot 3+1& 5^2\\ \dots & & \dots \end{array} \\ 4(1^2+2^2+\dots )-4(1+2+\dots )+n \end{gathered}$$

Теперь воспользуемся формулами для сумму первых $n$ натуральных чисел и их квадратов, которые мы вывели в задачах 1 и 2. Итого в числителе получаем следующую конструкцию:

$$\begin{gathered} 4(1^2+2^2+\dots )-4(1+2+\dots )+n= \\ =\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n= \\ =\frac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3} \end{gathered}$$

Знаменатель

В знаменателе имеем сумму квадратов четных чисел:

$$2^2+4^2+\dots +(2n{)}^2$$

Представим эту сумму в следующем виде:

$$4\cdot 1^2+4\cdot 2^2+4\cdot 3^2+\dots +4\cdot n^2=4\left(1^2+2^2+\dots +n^2\right)$$

В скобках имеем сумму квадратов первых $n$ натуральных чисел. Формулу для этой суммы мы выводили в задаче 2. Итого, в знаменателе получаем следующую конструкцию:

$$2^2+4^2+\dots =\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$$

Значение предела

Найдем теперь значение предела, используя полученные ранее выражения для числителя и знаменателя:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2}{2^2+4^2+\dots +(2n{)}^2}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{2n(n+1)(2n+1)}= \\ =1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{2n+1}+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{2(n+1)(2n+1)}= \\ =1-0+0=1 \end{gathered}$$

Выше мы воспользовались тем, что последовательности $2n+1$ и $2(n+1)(2n+1)$ являются, очевидно, бесконечно большими, так как превосходят бесконечно большую последовательность натуральных чисел. А по прото-задаче П-ссылка «обратные» им последовательности $\frac{1}{2n+1}$ и $\frac{1}{2(n+1)(2n+1)}$ стремятся к $0$.