Демидович
431

Найти значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь формулами из задач 1 и 2.

Не нужно выводить формулы для сумм в числителе и знаменателе с нуля. Попробуйте поработать с выражениями , и соответствующими суммами. Сведите эти суммы к суммам, которые рассматриваются в приведеных выше задачах.

Решение

Числитель

В числителе имеем сумму квадратов нечетных чисел:

Каждый квадрат нечетного числа имеет вид:

Пользуясь эти разложением, можем представить сумму в следующем виде:

Теперь воспользуемся формулами для сумму первых натуральных чисел и их квадратов, которые мы вывели в задачах 1 и 2. Итого в числителе получаем следующую конструкцию:

Знаменатель

В знаменателе имеем сумму квадратов четных чисел:

Представим эту сумму в следующем виде:

В скобках имеем сумму квадратов первых натуральных чисел. Формулу для этой суммы мы выводили в задаче 2. Итого, в знаменателе получаем следующую конструкцию:

Значение предела

Найдем теперь значение предела, используя полученные ранее выражения для числителя и знаменателя:

Выше мы воспользовались тем, что последовательности и являются, очевидно, бесконечно большими, так как превосходят бесконечно большую последовательность натуральных чисел. А по прото-задаче П.9 "обратные" им последовательности и стремятся к .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Связь б.м. и б.б. последовательностей
Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.