Демидович
434

Определить площадь криволинейного треугольника , ограниченного параболой , осью и прямой , рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямоугольников с основаниями , где .

Рисунок к условию

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Самостоятельно проведите все расчеты суммы площадей прямоугольников при или . Так вы поймете, какой вид имеет формула для произвольного количества прямоугольников.

Решение

Пример расчетов для

Давайте проведем все расчеты для случая .

Расчеты для n=3

Замечаем, что ширина любого прямоугольника равна . Займемся поиском их высот.

Первый прямоугольник берет свое начало в точке или . Но данная нам парабола тоже начинается оттуда же. Поэтому, высота первого прямоугольника тоже равна или . Итак, площадь первого прямоугольника:

Второй берет начало в . Его высота равна значению функции в этой точке: . Итак, площадь второго прямоугольника:

Наконец, левый нижний угол третьего прямоугольника лежит в . Его высота равна значению функции в этой точке: . Итак, площадь второго прямоугольника:

Значит, площадь криволинейного треугольника при равна:

Нахождение площади

Теперь мы прекрасно понимаем, какой вид формула примет при произвольном :

Справа видим сумму квадратов первых натуральных чисел. Формулу для этой суммы мы выводили в задаче 2. Воспользуемся ей:

Найдем теперь точное значение площади, которая равна значению предела при . Мы будем пользоваться элементарными пределами последовательностей из П.10:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.