Вынесем константу $10000$ из предела:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{10000n}{n^2+1}=10000\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2+1}$$

Докажем, что

$$\frac{n}{n^2+1}\stackrel{\text{?}}{<}\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$$

Умножаем обе части на $n\cdot (n^2+1)$:

$$n^2\stackrel{\text{?}}{<}{n}^2+1$$

Вычитаем из обеих частей $n^2$:

$$0<1$$

Итак, мы доказали, что:

$$\frac{n}{n^2+1}<\frac{1}{n}$$

Значит, нашу последовательность из условия можно «зажать»:

$$0<\frac{n}{n^2+1}<\frac{1}{n}$$

Предел $0$ при $n\to \infty$ равен $0$. Предел $\frac{1}{n}$ при $n\to \infty$ тоже равен $0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

По теореме о двух милиционерах это означает, что «зажатая» последовательность из условия тоже стремится к $0$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2+1}=0$$

Значит:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{10000n}{n^2+1}=10000\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2+1}=10000\cdot 0=0$$