Введем обозначение $t=\sin x$. Тогда в числителе и знаменателе получаем квадратичные функции общего вида:

$$\frac{2{\sin }^{2}x+\sin x-1}{2{\sin }^{2}x-3\sin x+1}=\frac{2t^2+t-1}{2t^2-3t+1}=\dots$$

Найдем корни уравнений:

$$2t^2+t-1=\left|\begin{array}{c}{t}_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{4}=\begin{array}{r}=\frac{1}{2}\\ =-1\end{array}\end{array}\right|=2(t+1)\left(t-\frac{1}{2}\right)$$

$$2t^2-3t+1=\left|\begin{array}{c}{t}_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{1}}{4}=\begin{array}{r}=1\\ =\frac{1}{2}\end{array}\end{array}\right|=2(t-1)\left(t-\frac{1}{2}\right)$$

Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель:

$$\dots =\frac{2(t+1)\left(t-\frac{1}{2}\right)}{2(t-1)(t-\frac{1}{2})}=\frac{t+1}{t-1}=\dots$$

Возвращаемся обратно к синусу:

$$\dots =\frac{\sin x+1}{\sin x-1}$$

Теперь найдем значение предела, пользуясь непрерывностью синуса (П-ссылка):

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\lim }\frac{\sin x+1}{\sin x-1}=\frac{\sin \frac{\pi }{6}+1}{\sin \frac{\pi }{6}-1}=\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=-3$$