Задача 492 — Демидович

Указание

Воспользуйтесь формулами произведения синусов, а также разностью косинусов:

$sin α \cdot sin β = \frac{cos ( α - β ) - cos ( α + β )}{2}$

$cos α - cos β = - 2 sin (\frac{α + β}{2}) sin (\frac{α - β}{2})$

Решение

С помощью формул из указания упростим числитель:

$sin (a + x) sin (a + 2 x) - sin^{2} a = = \frac{cos ( - x ) - cos ( 2 a + 3 x )}{2} - \frac{1 - cos ( 2 a )}{2} = = \frac{cos ( x ) - cos ( 2 a + 3 x ) - 1 + cos ( 2 a )}{2} = = \frac{- ( 1 - cos ( x )) + cos ( 2 a ) - cos ( 2 a + 3 x )}{2} = = \frac{- ( 1 - cos ( x )) - 2 sin ( \frac{4 a + 3 x}{2} ) sin ( \frac{- 3 x}{2} )}{2} = = - sin^{2} (\frac{x}{2}) + sin (\frac{4 a + 3 x}{2}) sin (\frac{3 x}{2})$

Пользуясь упрощенным числителем, найдем теперь значение предела, используя теорему о пределе сложной функции (П-ссылка), первый замечательный предел (П-ссылка), а также непрерывностью синуса (П-ссылка):

$x \to 0 lim \frac{sin ( a + x ) sin ( a + 2 x ) - sin ^{2} a}{x} = = x \to 0 lim - \frac{sin ^{2} ( \frac{x}{2} )}{x} + \frac{sin ( \frac{4 a + 3 x}{2} ) sin ( \frac{3 x}{2} )}{x} = = x \to 0 lim - \frac{sin ^{2} ( \frac{x}{2} )}{2 \frac{x}{2}} + sin (\frac{4 a + 3 x}{2}) \frac{\frac{3}{2} sin ( \frac{3 x}{2} )}{\frac{3 x}{2}} = = ∣ ∣ u = \frac{x}{2}, v = \frac{4 a + 3 x}{2}, z = \frac{3 x}{2} u \to 0, v \to 2 a, z \to 0 ∣ ∣ = = - \frac{1}{2} u \to 0 lim \frac{sin u}{u} u \to 0 lim sin u + v \to 2 a lim sin v \cdot \frac{3}{2} z \to 0 lim \frac{sin z}{z} = = \frac{3}{2} sin (2 a)$

Зависимости

Непрерывность тригонометрических функций

Доказательство непрерывности тригонометрических функций (включая обратные) на всей своей области определения.

Предел сложной функции

Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.

Первый замечательный предел

Вывод первого замечательного предела, который связывает синус, тангенс, арксинус и арктангенс с аргументом.

491 493