Заменим переменную с помощью теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\lim }\frac{\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)}{1-2\cos x}=\left|\begin{array}{c}y=x-\frac{\pi }{3}\\ y\to 0\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{1-2\cos \left(y+\frac{\pi }{3}\right)}=\dots$$

В знаменателе воспользуемся формулой косинуса суммы, а затем формулой половинного угла (см. указание):

$$\begin{gathered} 1-2\cos \left(y+\frac{\pi }{3}\right)=1-2\left(\cos y\cos \frac{\pi }{3}-\sin y\sin \frac{\pi }{3}\right)= \\ =1-\cos y+\sqrt{3}\sin y=2{\sin }^2\frac{y}{2}+\sqrt{3}\sin y \end{gathered}$$

Теперь мы можем найти значение предела, воспользуясь первым замечательным пределом (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \dots =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{2{\sin }^2\frac{y}{2}+\sqrt{3}\sin y}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{y\frac{\sin y}{y}}{\frac{y{\sin }^2\frac{y}{2}}{\frac{y}{2}}+\sqrt{3}y\frac{\sin y}{y}}= \\ =\left|\begin{array}{c}u=\frac{y}{2}\\ u\to 0\end{array}\right|=\frac{\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}}{\underset{u\to 0}{\lim }\sin u\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}+\sqrt{3}\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}}= \\ =\frac{1}{0\cdot 1+\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$