Упростим выражение, используя формулы из указания:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{tg}}^{3}x-3\mathrm{tg}x}{\cos (x+\frac{\pi }{6})}=\frac{\mathrm{tg}x\left({\mathrm{tg}}^{2}x-3\right)}{\cos x\cos \frac{\pi }{6}-\sin x\sin \frac{\pi }{6}}= \\ =\frac{\mathrm{tg}x\frac{{\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x}=\frac{\mathrm{tg}x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)(\sin x+\sqrt{3}\cos x)}{-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x\left(\sin x-\sqrt{3}\cos x\right)}= \\ =\frac{\mathrm{tg}x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)}{-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x} \end{gathered}$$

Найдем теперь предел, пользуясь его арифметическими свойствами и непрерывностью синуса, косинуса и тангенса (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)}{-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x}=\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}(\sin \frac{\pi }{3}+\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{3})}{-\frac{1}{2}{\cos }^2\frac{\pi }{3}}= \\ =\frac{\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}}=\frac{3}{-\frac{1}{8}}=-24 \end{gathered}$$