С помощью формулы разности квадратов избавимся от иррациональности в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{1+\mathrm{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}=\frac{1+\mathrm{tg}x-1-\sin x}{x^3(\sqrt{1+\mathrm{tg}x}+\sqrt{1+\sin x})}= \\ =\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3(\sqrt{1+\mathrm{tg}x}+\sqrt{1+\sin x})}= \\ =\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{1}{2\cos x(\sqrt{1+\mathrm{tg}x}+\sqrt{1+\sin x})} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, используя первый замечательный предел (П-ссылка), а также непрерывность косинуса, тангенса (П-ссылка) и степенной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{1}{2\cos x(\sqrt{1+\mathrm{tg}x}+\sqrt{1+\sin x})}= \\ =1\cdot 1\cdot \frac{1}{2\cos 0(\sqrt{1+\mathrm{tg}0}+\sqrt{1+\sin 0})}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$