С помощью формулы разности квадратов избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}=\frac{x^2(\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x})}{1+x\sin x-\cos x}= \\ =\frac{x^2(\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x})}{x^2\frac{\sin x}{x}+\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}}= \\ =\frac{\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x}}{\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь первым замечательным пределом (П-ссылка), а также непрерывностью синуса и косинуса (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x\sin x}+\sqrt{\cos x}}{\frac{\sin x}{x}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}}= \\ =\frac{\sqrt{1+0\cdot \sin 0}+\sqrt{\cos 0}}{1+\frac{1}{2}\cdot 1}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} \end{gathered}$$