Приведем выражение к виду, удобному для применения первого замечательного предела.

Числитель

Начнем с числителя:

$$\sqrt{1-\cos x^2}=\sqrt{\frac{1-\cos x^2}{\frac{(x^2{)}^2}{2}}\cdot \frac{(x^2{)}^2}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos x^2}{\frac{(x^2{)}^2}{2}}}\cdot \frac{|x^2|}{\sqrt{2}}=\dots$$

От знака модуля можно избавиться, так как под ним стоит квадрат числа, который всегда дает положительный результат:

$$\dots =\sqrt{\frac{1-\cos x^2}{\frac{(x^2{)}^2}{2}}}\frac{x^2}{\sqrt{2}}$$

Знаменатель

Теперь поработаем с знаменателем:

$$1-\cos x=\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{x^2}{2}$$

Значение предела

Найдем теперь значение предела, используя теорему о пределе сложной функции (П-ссылка), первый замечательный предел (П-ссылка), а также непрерывность степенной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{\frac{1-\cos x^2}{\frac{(x^2{)}^2}{2}}}\frac{x^2}{\sqrt{2}}}{\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{x^2}{2}}=\left|\begin{array}{c}y=x^2\\ y\to 0\end{array}\right|=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{\underset{y\to 0}{\lim }\frac{1-\cos y}{\frac{y^2}{2}}}}{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}}= \\ =\sqrt{2}\cdot \frac{1}{1}=\sqrt{2} \end{gathered}$$