Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством в знаменателе:

$$\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{{\sin }^{2}x}=\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{1-{\cos }^{2}x}$$

Заменой переменной избавимся от косинуса с помощью теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка), непрерывности косинуса (П-ссылка) и непрерывности степенной функции (П-ссылка):

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{1-{\cos }^{2}x}=\left|\begin{array}{c}y=\cos x\\ y\to 1\end{array}\right|=\underset{y\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{y}-\sqrt[3]{y}}{1-y^2}$$

Избавимся от иррациональности в числителе, используя формулу разности степеней через произведение (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{y}-\sqrt[3]{y}}{1-y^2}\cdot \\ \cdot \frac{({\sqrt{y}}^5+{\sqrt{y}}^4\sqrt[3]{y}+{\sqrt{y}}^3{\sqrt[3]{y}}^2+{\sqrt{y}}^2{\sqrt[3]{y}}^3+\sqrt{y}{\sqrt[3]{y}}^4+{\sqrt[3]{y}}^5)}{({\sqrt{y}}^5+{\sqrt{y}}^4\sqrt[3]{y}+{\sqrt{y}}^3{\sqrt[3]{y}}^2+{\sqrt{y}}^2{\sqrt[3]{y}}^3+\sqrt{y}{\sqrt[3]{y}}^4+{\sqrt[3]{y}}^5)}= \\ =\frac{{\sqrt{y}}^6-{\sqrt[3]{y}}^6}{(1-y^2)\cdot ({\sqrt{y}}^5+\dots )}=\frac{y^3-y^2}{(1-y^2)({\sqrt{y}}^5+\dots )}= \\ =\frac{y^2(y-1)}{-(y-1)(y+1)({\sqrt{y}}^5+\dots )}= \\ =\frac{y^2}{-(y+1)({\sqrt{y}}^5+\dots )} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{y\to 1}{\lim }\frac{y^2}{-(y+1)({\sqrt{y}}^5+\dots )}=\frac{1^2}{-(1+1)(1+1\cdot 1+\dots )}= \\ =\frac{1}{-2\cdot 6}=-\frac{1}{12} \end{gathered}$$