С помощью формулы разности квадратов избавимся от иррациональности в числителе:

$$\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos (\sqrt{x})}\cdot \frac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}}=\frac{1-\cos x}{(1-\cos (\sqrt{x}))(1+\sqrt{\cos x})}=\dots$$

Теперь приведем числитель и левую скобку знаменателя к такому виду, чтобы можно было использовать первый замечательный предел:

$$\begin{gathered} \dots =\frac{\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{x^2}{2}}{\left[\frac{1-\cos (\sqrt{x})}{\frac{{\sqrt{x}}^2}{2}}\cdot \frac{{\sqrt{x}}^2}{2}\right](1+\sqrt{\cos x})}= \\ =x\frac{\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}}{\frac{1-\cos (\sqrt{x})}{\frac{{\sqrt{x}}^2}{2}}(1+\sqrt{\cos x})} \end{gathered}$$

Теперь найдем значение предела, используя теорему о пределе сложной функции (П-ссылка), первый замечательный предел (П-ссылка), непрерывность степенной функции (П-ссылка) и непрерывность косинуса (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }x\frac{\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}}{\frac{1-\cos (\sqrt{x})}{\frac{{\sqrt{x}}^2}{2}}(1+\sqrt{\cos x})}=\left|\begin{array}{c}y=\sqrt{x}\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =0\cdot \frac{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}}{\underset{y\to 0}{\lim }\frac{1-\cos y}{\frac{y^2}{2}}\underset{x\to 0}{\lim }(1+\sqrt{\cos x})}=0\cdot \frac{1}{1\cdot 2}=0 \end{gathered}$$