Демидович
505

Найти пределы:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь формулой разности синусов:

Используйте прото-задачу П.25.

Решение

Используем формулу разности синусов (см. указание):

Введем следующие обозначения:

Функция

Докажем, что выражение под синусом стремится к при , используя прото-задачу П.25, а также свойства предела степенной функции (П.29):

Раз аргумент синуса стремится к , то, согласно непрерывности синуса (П.39) он сам стремится к .

Мы доказали, что

Функция

По определению функции косинуса его значение ни при каких аргументах не может оказаться больше или меньше :

Умножим все части неравенства на :

Мы показали, что — ограниченная функция.

Итог

Нам нужно найти значение следующего предела:

Получаем произведение бесконечно малой функции и ограниченной . По прото-задаче П.25 предел такого произведения равен :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Операции с бесконечно малыми и большими
Основные арифметические между ограниченной и бесконечно малой (большой) функциями.
Предел степенной функции
Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.
Непрерывность тригонометрических функций
Доказательство непрерывности тригонометрических функций (включая обратные) на всей своей области определения.