Разберемся с суммой в числителе:

$$1-2+3-\dots +(-1{)}^{n-1}n$$

$n$ — четное

В случае, когда $n$ — четное, получаем сумму:

$$1-2+3-\dots +(n-1)-n$$

Выделим каждую разность в этой сумме скобками:

$$(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots (n-1-n)$$

В каждой скобке получаем $-1$, а всего таких скобок $\frac{n}{2}$:

$$-1-1-1-1-\dots =-\frac{n}{2}$$

$n$ — нечетное

В случае, когда $n$ — нечетное, получаем сумму:

$$1-2+3-\dots -(n-1)+n$$

Заметим, $(n-1)$ — четное, а результат суммы для четных мы уже нашли выше:

$$-\frac{n-1}{2}+n=\frac{-n+1+2n}{2}=\frac{n+1}{2}$$

Общая формула

Теперь объединим оба результата в одну общую формулу:

$$(-1{)}^{n-1}\frac{n+\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{2}}{2}$$

Проверяем при четном $n$:

$$(-1{)}^{n-1}=-1$$

$$-\frac{n+\frac{1-1}{2}}{2}=-\frac{n}{2}$$

Проверяем при нечетном $n$:

$$(-1{)}^{n-1}=1$$

$$\frac{n+\frac{1+1}{2}}{2}=\frac{n+1}{2}$$

Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:

$$\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\dots +\frac{(-1{)}^{n-1}n}{n}\right|=\frac{|1-2+3-\dots +(-1{)}^{n-1}n|}{n}$$

Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:

$$\frac{|1-2+3-\dots +(-1{)}^{n-1}n|}{n}=\frac{\left|(-1{)}^{n-1}\frac{n+\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{2}}{2}\right|}{n}$$

Воспользуемся свойством модуля: $$|a\cdot b|=|a||b|$$

С помощью этого свойства разберемся с $(-1{)}^{n-1}$:

$$|(-1{)}^{n-1}|=|(-1)\cdot (-1)\cdot \dots |=|-1||-1|\dots =1$$

Поэтому:

$$\frac{\left|(-1{)}^{n-1}\frac{n+\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{2}}{2}\right|}{n}=\frac{n+\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{2}}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{4n}$$

Уже можно переходить к рассмотрению предела:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{4n}=\frac{1}{2}+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{4n}+\frac{(-1{)}^{n-1}}{4n}= \\ =\frac{1}{2}+0+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-1{)}^{n-1}}{4n} \end{gathered}$$

Последнюю последовательность можно «зажать»:

$$\frac{-1}{4n}\le \frac{(-1{)}^{n-1}}{4n}\le \frac{1}{4n}$$

Но $\frac{-1}{4n}\to 0$ и $\frac{1}{4n}\to 0$, поэтому, по теореме о двух милиционерах, и «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-1{)}^{n-1}}{4n}=0$$

Выше мы использовали тот факт, что последовательность $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\dots +\frac{(-1{)}^{n-1}n}{n}\right|=\frac{1}{2}$$