В числителе последовательности имеем сумму:

$$1^2+2^2+\dots +(n-1{)}^2$$

Формула этой суммы доказывается в задаче 2:

$$1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

В нашем случае:

$$1^2+2^2+\dots +(n-1{)}^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$

Подставляем в условие:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\dots +\frac{(n-1{)}^2}{n^3}\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2(2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})}{6n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}= \\ =\frac{1}{3}-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n}+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{6n^2}=\frac{1}{3}-0+0=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Мы использовали тот факт, что $\frac{1}{2n}\to 0$ и $\frac{1}{6n^2}\to 0$, так как это разновидности элементарной бесконечно малой последовательности $\frac{1}{n^a}$ без учета констант (см. прото-задачу П-ссылка).