Демидович
52

Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Объедините все слагаемые вместе и найдите общую формулу для числителя.

Для этого рассмотрите, чему равен числитель при четных и нечетных .

Общая формула для числителя:

Проведите преобразования и "зажмите" результат между двумя последовательностями:

Решение

Разберемся с суммой в числителе:

— четное

В случае, когда — четное, получаем сумму:

Выделим каждую разность в этой сумме скобками:

В каждой скобке получаем , а всего таких скобок :

— нечетное

В случае, когда — нечетное, получаем сумму:

Заметим, — четное, а результат суммы для четных мы уже нашли выше:

Общая формула

Теперь объединим оба результата в одну общую формулу:

Проверяем при четном :

Проверяем при нечетном :


Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:

Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:

Воспользуемся свойством модуля:

С помощью этого свойства разберемся с :

Поэтому:

Уже можно переходить к рассмотрению предела:

Последнюю последовательность можно "зажать":

Но и , поэтому, по теореме о двух милиционерах, и "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к .

Выше мы использовали тот факт, что последовательность (см. прото-задачу П.10).

Итак:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.