Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 52
Нормальная
Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:

Ответ

Указание

Объедините все слагаемые вместе и найдите общую формулу для числителя.

Для этого рассмотрите, чему равен числитель при четных и нечетных .

Общая формула для числителя:

Проведите преобразования и «зажмите» результат между двумя последовательностями:

Решение

Разберемся с суммой в числителе:

— четное

В случае, когда — четное, получаем сумму:

Выделим каждую разность в этой сумме скобками:

В каждой скобке получаем , а всего таких скобок :

— нечетное

В случае, когда — нечетное, получаем сумму:

Заметим, — четное, а результат суммы для четных мы уже нашли выше:

Общая формула

Теперь объединим оба результата в одну общую формулу:

Проверяем при четном :

Проверяем при нечетном :


Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:

Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:

Воспользуемся свойством модуля:

С помощью этого свойства разберемся с :

Поэтому:

Уже можно переходить к рассмотрению предела:

Последнюю последовательность можно «зажать»:

Но и , поэтому, по теореме о двух милиционерах, и «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к .

Выше мы использовали тот факт, что последовательность (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак: