Выясним сначала, чему равна сумма в числителе:

$$1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2$$

Это сумма квадратов нечетных натуральных чисел. Каждый элемент этой суммы определяется следующей формулой:

$$(2n-1{)}^2$$

Воспользуемся формулой квадрата разности:

$$4n^2-4n+1$$

Распишем сумму по этой формуле:

$$(4\cdot 1^2-4\cdot 1+1)+(4\cdot 2^2-4\cdot 2+1)+\dots$$

Перегруппируем члены этой суммы:

$$4(1^2+2^2+\dots )-4(1+2+\dots )+(1+1+\dots )$$

В первой скобке у нас сумма квадратов натуральных чисел. Формула этой суммы доказывается в задаче 2. Во второй скобке просто сумма натуральных чисел. Формула этой суммы доказывается в задаче 1. В третьей скобке просто складывается друг с другом $n$ единиц.

$$\begin{gathered} 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\frac{n(n+1)}{2}+n= \\ =4n(n+1)\cdot \left[\frac{2n+1}{6}-\frac{3}{6}\right]+n= \\ =\frac{4}{3}\cdot n(n^2-1)+n \end{gathered}$$

Итак:

$$1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2=\frac{4}{3}\cdot n(n^2-1)+n$$

Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:

$$\left[\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\dots +\frac{(2n-1{)}^2}{n^3}\right]=\frac{1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2}{n^3}$$

Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:

$$\frac{1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2}{n^3}=\frac{\frac{4}{3}\cdot n(n^2-1)+n}{n^3}$$

Разобьем эту большую дробь:

$$\frac{\frac{4}{3}\cdot n(n^2-1)+n}{n^3}=\frac{4}{3}\cdot \frac{n^2-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{4}{3}\cdot \left(1-\frac{1}{n^2}\right)+\frac{1}{n^2}$$

Находим предел:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{3}\cdot \left(1-\frac{1}{n^2}\right)+\frac{1}{n^2}=\frac{4}{3}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n^2}\right)+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}= \\ =\frac{4}{3}\cdot (1-0)+0=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

Выше мы использовали тот факт, что последовательность $\frac{1}{n^2}\to 0$, так как она является частым случаем последовательности $\frac{1}{n^a}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).