Демидович
55

Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Сначала поработаем с самой суммой:

Разложим ее так, чтобы у каждого члена в числителе была и представим в виде таблицы:

В первой строчке таблицы воспользуемся формулой суммы первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом, равным :

Во второй строчке таблицы выносим за скобки и вновь используем формулу суммы первых членой геометрической прогрессии:

Проделаем эти операции с каждой строчкой таблицы и сложим результаты:

Из полученного результата можно выделить две суммы первых членов геометрической прогрессии:

Воспользуемся формулой суммы первых членов геометрической прогрессии:

Так как таких сумм две, удваиваем результат и подставляем его обратно вместо сумм:

Немного упростим:

Найдем значение предела:

Выше мы использовали тот факт, что , так как это убывающая геометрическая прогрессия (см. прото-задачу П.14) и (см. прото-задачу П.12).

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Отношение степенной и показательной последовательностей
Предел отношения степенной и показательной последовательностей равен 0.
Предел геометрической прогрессии
Сходимость к нулю убывающих и к бесконечности возрастающих геометрических прогрессий.