Демидович
56

Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Докажите, что

Воспользуйтесь этой формулой для упрощения выражения предела.

Решение

Последовательность в условии это сумма дробей, каждая из которых имеет вид:

Попытаемся представить эту дробь в виде суммы двух дробей с двумя знаменателями, равными множителям знаменателя исходной дроби:

Приведем к общему знаменателю:

Нам нужно найти такие значения для и , чтобы числитель равнялся :

Этого легко добиться, взяв и :

Итак, любая дробь из условия может быть представлена в следующем виде:

Попробуем перезаписать сумму из условия, заменяя все дроби на сумму двух дробей по найденному свойству:

Теперь легко найти предел:

Выше мы воспользовались тем, что:

Это легко показать, если "зажать" эту последовательность между и :

Последовательность и (см. прото-задачу П.10), а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними тоже стремится к .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.