Последовательность в условии это сумма дробей, каждая из которых имеет вид:

$$\frac{1}{n(n+1)}$$

Попытаемся представить эту дробь в виде суммы двух дробей с двумя знаменателями, равными множителям знаменателя исходной дроби:

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}=\frac{a(n+1)+bn}{n(n+1)}$$

Нам нужно найти такие значения для $a$ и $b$, чтобы числитель равнялся $1$:

$$a(n+1)+bn=1$$

Этого легко добиться, взяв $a=1$ и $b=-1$:

$$n+1-n=1$$

Итак, любая дробь из условия может быть представлена в следующем виде:

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

Попробуем перезаписать сумму из условия, заменяя все дроби на сумму двух дробей по найденному свойству:

$$\begin{gathered} \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}= \\ =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots -\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}= \\ =\frac{1}{1}+0+0+\dots -\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \end{gathered}$$

Теперь легко найти предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }1-\frac{1}{n+1}=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=1-0=1$$

Выше мы воспользовались тем, что:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0$$

Это легко показать, если «зажать» эту последовательность между $0$ и $\frac{1}{n}$:

$$0\le \frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n}$$

Последовательность $0\to 0$ и $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка), а значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними $\frac{1}{n+1}$ тоже стремится к $0$.