Демидович
63

Доказать следующие равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П.11.

Решение

Благодаря результатам прото-задачи П.11 мы можем совершить предельный переход к показателю:

Мы также воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).

Разбор 2
Петр Радько
Указание

Докажите для случая, когда .

Для случая, когда , докажите по определению предела.

Если , введите новую величину :

Используйте ее в доказательстве.

Решение

Если , то


Если , то докажем по определению предела:

Займемся неравенством в конце:

Знаки модуля можно убрать, так как выражение под ним всегда больше , так как :

Прологарифмируем это неравество по основанию , и, так как , знак неравенства не поменяется:

Изолируем :

Выбирать из определения предела будем по следующей формуле:

С таким любое будет натуральным и будет удовлетворять следующему неравенству:

Итак, для любого мы нашли такое , что все дальнешие будут удовлетворять неравенству

Мы доказали по определению предела, что


Если , введем новую величину :

Заметим, что , так как . Выразим :

Возьмем корень -ой степени из обеих частей равенства:

Теперь перейдем к нахождению предела:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Предельный переход в показательных и логарифмических функциях
Возможность при взятии предела перейти к нахождению предела показателя.