Докажем, что

$$n!>{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}$$

Если $n$ четное, то

$$n!=1\cdot 2\dots \left(\frac{n}{2}\right)\left(\frac{n}{2}+1\right)\dots \cdot n$$

Уберем все множители до $\frac{n}{2}$:

$$n!=1\cdot 2\dots \left(\frac{n}{2}\right)\left(\frac{n}{2}+1\right)\dots \cdot n>\left(\frac{n}{2}\right)\left(\frac{n}{2}+1\right)\dots \cdot n$$

$$n!>\stackrel{\frac{n}{2}\text{ множителей}}{\overbrace{\left(\frac{n}{2}\right)\left(\frac{n}{2}+1\right)\dots \cdot n}}$$

Все множители после $\frac{n}{2}$ заменим на $\frac{n}{2}$:

$$n!>\left(\frac{n}{2}\right)\left(\frac{n}{2}+1\right)\dots \cdot n>\left(\frac{n}{2}\right)\left(\frac{n}{2}\right)\dots ={\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}$$

$$n!>{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}$$

Если $n$ нечетное, то

$$n!=1\cdot 2\dots \left(\frac{n-1}{2}\right)\left(\frac{n+1}{2}\right)\dots \cdot n$$

Вновь убираем все множители до $\frac{n+1}{2}$:

$$n!>\stackrel{\frac{n+1}{2}\text{ множителей}}{\overbrace{\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{n+1}{2}+1\right)\dots \cdot n}}$$

Все множители после $\frac{n+1}{2}$ заменим на $\frac{n}{2}$:

$$n!>\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{n+1}{2}+1\right)\dots \cdot n>\left(\frac{n}{2}\right)\left(\frac{n}{2}\right)\dots >{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n+1}{2}}$$

$$n!>{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n+1}{2}}>{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}$$

Итак, доказали что для любых $n$ выполняется неравенство:

$$n!>{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}$$

Возьмем из обеих частей корень $n$-ой степени:

$$\sqrt[n]{n!}>{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

«Перевернем»:

$$\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}<{\left(\frac{2}{n}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

«Зажмем» слева $0$:

$$0<\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}<{\left(\frac{2}{n}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

Найдем предел последовательности справа:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{n}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}\cdot 0=0$$

Мы использовали то, что $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Вернемся к зажатой последовательности:

$$0<\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}<{\left(\frac{2}{n}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

«Последовательность» нулей слева стремится к $0$. Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится к $0$. Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность $\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ тоже стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=0$$

$■$