Демидович
66

Доказать следующие равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Докажите, что

Преобразуйте это неравенство так, чтобы слева оказалась доказываемая последовательность. Затем воспользуйтесь теоремой о двух милиционерах.

Решение

Докажем, что

Если четное, то

Уберем все множители до :

Все множители после заменим на :

Если нечетное, то

Вновь убираем все множители до :

Все множители после заменим на :

Итак, доказали что для любых выполняется неравенство:

Возьмем из обеих частей корень -ой степени:

"Перевернем":

"Зажмем" слева :

Найдем предел последовательности справа:

Мы использовали то, что (см. прото-задачу П.10).

Вернемся к зажатой последовательности:

"Последовательность" нулей слева стремится к . Последовательность справа, как мы только что показали, тоже стремится к . Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.