Пункт а)

Найдем предел отношения последовательностей $100n+200$ и $0.01n^2$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{100n+200}{0.01n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{100n}{0.01n^2}+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{200}{n^2}= \\ =\frac{100}{0.01}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}+200\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}= \\ =\frac{100}{0.01}\cdot 0+200\cdot 0=0+0=0 \end{gathered}$$

Здесь мы воспользовалим тем, что $\frac{1}{n^a}\to 0$ при $a>0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Распишем полученный результат по определению предела:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{100n+200}{0.01n^2}=0\iff \\ \iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:\left|\frac{100n+200}{0.01n^2}\right|<\epsilon \end{gathered}$$

Рассмотрим неравенство в конце:

$$\left|\frac{100n+200}{0.01n^2}\right|<\epsilon$$

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним всегда положительное:

$$\frac{100n+200}{0.01n^2}<\epsilon$$

Итак, по определению предела, для любого $\epsilon >0$, найдется такое $N$, что для всех остальных $n>N$ будет выполняться неравенство выше.

Раз выполняется для любого положительного $\epsilon$, то и для $\epsilon =1$ существует такое $N_1$, что для всех остальных $n>N_1$ будет выполняться:

$$\frac{100n+200}{0.01n^2}<1,n>N_1$$

Умножим обе части на $0.01n^2$:

$$100n+200<0.01n^2,n>N_1$$

Значит, начиная с номера $N_1$ последовательность $0.01n^2$ будет всегда больше, чем $100n+200$.

Пункт б)

Найдем предел отношения последовательностей $n^{1000}$ и $2^n$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{1000}}{2^n}=0$$

Предел именно такой, так как он является частным случаем предела отношения ($k=1000$ и $a=2$):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^k}{a^n}=0\text{ при }a>1,$$

значение которого доказывалось в задаче 60.

Итак,

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{1000}}{2^n}=0$$

Дальше действия аналогичные пункту а): расписываем по определению предела и берем $\epsilon =1$:

$$\frac{n^{1000}}{2^n}<1,n>N_1$$

$$n^{1000}<2^n,n>N_1$$

Значит, начиная с номера $N_1$ последовательность $2^n$ будет всегда больше, чем $n^{1000}$.

Пункт в)

Найдем предел отношения последовательностей $1000^n$ и $n!$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1000^n}{n!}=0$$

Предел именно такой, так как он является частным случаем предела отношения ($a=1000$):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=0,$$

значение которого доказывалось в задаче 61.

Итак,

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1000^n}{n!}=0$$

Дальше действия аналогичные пункту а): расписываем по определению предела и берем $\epsilon =1$:

$$\frac{1000^n}{n!}<1,n>N_1$$

$$1000^n<n!,n>N_1$$

Значит, начиная с номера $N_1$ последовательность $n!$ будет всегда больше, чем $1000^n$.